1.5.3定积分的概念课时过关·能力提升基础巩固1.设曲线f(x)在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]n等分,在每个小区间上任取ξi,则∫ab❑f¿x)dx等于()A.limn→∞∑i=1nf¿ξi)B.limn→∞∑i=1nf¿ξi)·b-anC.limn→∞∑i=1nf¿ξi)·ξiD.limn→∞∑i=1nf¿ξi)·(ξi-ξi-1)解析:根据定积分的概念可知,B选项正确,其余均不等于∫ab❑f¿x)dx,故选B.答案:B2.设连续函数f(x)>0,则当a
(2)<7.∫02❑¿x-1)dx=.答案:08.把由y=cosx,x=0,x¿π2与y=0所围成的图形的面积表示为定积分的形式是.解析:由定积分的定义和几何意义求解.答案:∫0π2❑cosxdx能力提升1.根据定积分的定义,∫02❑x3dx不等于()A.limn→∞∑i=1n[2(i-1)n]3·2nB.limn→∞∑i=1n(in)3·1nC.limn→∞∑i=1n(2in)3·2nD.lim2n→∞∑i=12n(in)3·1n3解析:将[0,2]等分为n个小区间[2(i-1)n,2in]¿i=1,2,…,n),若取ξi¿2(i-1)n,则∫02❑x3dx¿limn→∞∑i=1n[2(i-1)n]3·2n,若取ξi¿2in,则∫02❑x3dx¿limn→∞∑i=1n(2in)3·2n;将[0,2]等分成2n个小区间[i-1n,in]¿i=1,2,…,2n),则Δx¿1n,取ξi¿in,则∫02❑x3dx¿lim2n→∞∑i=12n(in)3·1n.故选B.答案:B2.已知∫ab❑¿f(x)+g(x)]dx=12,∫ab❑g¿x)dx=6,则∫ab❑3f(x)dx等于()A.12B.6C.18D.24解析: ∫ab❑¿f(x)+g(x)]dx¿∫ab❑f¿x)dx+∫ab❑g¿x)dx,∴∫ab❑f¿x)dx=12-6=6.∴∫ab❑3f(x)dx=3∫ab❑f¿x)dx=3×6=18.答案:C3.设a¿∫01❑x13dx,b¿∫01❑x2dx,c¿∫01❑x3dx,则a,b,c的大小关系是()A.c>a>bB.a>b>cC.a=b>cD.a>c>b解析:根据定积分的几何意义,易知∫01❑x3dx¿∫01❑x2dx¿∫01❑x13dx,即a>b>c,故选B.答案:B4.★已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示),则对于图中给定的t0和t1,下列判断一定正确的是()4A.在t1时刻,甲车在乙车的前面B.t1时刻后,甲车在乙车的后面C.在t0时刻,两车的位置相同D.t0时刻后,乙车在甲车的前面解析:由题图可知,曲线v甲比v乙在0~t0,0~t1与t轴所围成图形的面积大,则在t0,t1时刻,甲车均在乙车的前面,故选A.答案:A5.已知∫01❑x2dx¿13,∫12❑x2dx¿73,则∫02❑¿x2+1)dx=.解析:由定积分的性质,可得∫02❑¿x2+1)dx¿∫02❑x2dx+∫02❑1dx,而由已知,得∫02❑x2dx¿∫01❑x2dx+∫12❑x2dx¿13+73=83.又由定积分的几何意义知∫02❑1dx=1×2=2,故∫02❑¿x2+1)dx¿83+2=143.答案:1436.(1)计算∫-33❑(√9-x2−1)dx的值;(2)已知f(x¿={x,x∈[0,2),4-x,x∈[2,3),52-x2,x∈[3,5],求f(x)在区间[0,5]上的定积分.分析:可先根据定积分的几何意义求出相关函数的定积分,再根据定积分的性质进行加减运算.解:(1)如图,5由定积分的几何意义,得∫-33❑√9-x2dx¿π×322=9π2,∫-33❑1dx=6.由定积分的性质,得∫-33❑(√9-x2−1)dx¿∫-33❑√9-x2dx−∫-33❑1dx¿9π2−6.(2)如图,由定积分的几何意义,得∫02❑xdx¿12×2×2=2,...
