课时分层作业(七)函数的最大(小)值与导数(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为()A．f(a)－g(a)B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b)D．f(b)－g(a)A[令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)，又f′(x)＜g′(x)，故F′(x)＜0，∴F(x)在[a，b]上单调递减，∴F(x)max≤F(a)＝f(a)－g(a)．]2．函数y＝的最大值为()A．e－1B．eC．e2D．A[令y′＝＝＝0(x＞0)，解得x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0.y极大值＝f(e)＝，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，所以ymax＝.]3．函数f(x)＝x2·ex＋1，x∈[－2,1]的最大值为()A．4e－1B．1C．e2D．3e2C[ f′(x)＝(x2＋2x)ex＋1＝x(x＋2)ex＋1，∴f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.又当x∈[－2,1]时，ex＋1＞0，∴当－2＜x＜0时，f′(x)＜0；当0＜x＜1时f′(x)＞0.∴f(x)在(－2,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增．又f(－2)＝4e－1，f(1)＝e2，∴f(x)的最大值为e2.]4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为()A．16B．12C．32D．6C[ f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝24，f(2)＝－8，可知M－m＝24－(－8)＝32.]5．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A．0≤a<1B．0
0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是__________．[e，＋∞)[由f(x)＝＋2lnx得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0时，f′(x)>0.故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝lna＋1.要使f(x)≥2恒成立，需lna＋1≥2恒成立，则a≥e.]三、解答题9．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．[解]易知f(x)的定义域为.(1)f′(x)＝＋2x＝＝.当－0；当－1－时，f′(x)>0，从而f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减．(2)由(1)知f(x)在区间上的最小值为f＝ln2＋.又因为f－f＝ln＋－ln－＝ln＋＝<0，所以f(x)在区间上的最大值为f＝＋ln.10．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)≥2019对于∀x∈[－2,2]恒成立，求a的取值范围．[解](1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.由f′(x)<0，得x<－1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)由f′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1.因为f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a，故当－2≤x≤2时，f(x)min＝－5＋a.要使f(x)≥2019对于∀x∈[－2,2]恒成立，只需f(x)min＝－5＋a≥2019，解得a≥2024.1．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是()A．－13B．－15C．10D．15A[对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又 f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1...
