高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第2课时 三角形中的几何计算练习 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP免费

第2课时三角形中的几何计算1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝5，b＝4，cosC＝，则△ABC的面积是A.8B.6C.4D.2解析 cosC＝，C∈(0，π)，∴sinC＝，∴S△ABC＝absinC＝×5×4×＝6.故选B.答案B2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是A.3B.C.D.3解析由余弦定理得，cosC＝＝＝，所以ab＝6，所以S△ABC＝absinC＝.答案C3．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝A.B.C.D.解析因为S△ABC＝absinC，所以＝absinC．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得2abcosC＝2absinC，即cosC＝sinC，所以在△ABC中，C＝.答案C4.已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5，则c＝________.解析由S＝absinC＝×4×5sinC＝5，得sinC＝，∴cosC＝±，当cosC＝时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝21，得c＝，当cosC＝－时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝61，∴c＝.答案或5.在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则该三角形的周长为________.解析 a－b＝4，∴a＞b，1又 a＋c＝2b，∴b＋4＋c＝2b，∴b＝4＋c，∴a＞b＞c.∴最大角为A，∴A＝120°，∴cosA＝＝－，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴b2＋(b－4)2－(b＋4)2＝－b(b－4)，即b2＋b2＋16－8b－b2－16－8b＝－b2＋4b，∴b＝10，∴a＝14，c＝6.故周长为30.答案30[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为A.2＋2B.＋1C.2－2D.－1解析 B＝，C＝，∴A＝π－B－C＝π－－＝.由正弦定理＝，得＝，即＝，∴c＝2.∴S△ABC＝bcsinA＝×2×2sin＝＋1.故选B.答案B2.在△ABC中，c＝，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为A.或B.或C.或D.解析根据正弦定理，sinC＝＝sin30°＝. c＞b，∴C＞B＝30°，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴△ABC的面积S＝bcsinA＝；当C＝120°时，A＝180°－(30°＋120°)＝30°，∴△ABC的面积S＝bcsinA＝.答案B3.在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于2A.B.C.D.解析设AB＝c，BC边上的高为h，由余弦定理得AC2＝c2＋BC2－2BC·ccos60°，即7＝c2＋4－4ccos60°，即c2－2c－3＝0，所以c＝3，又h＝csin60°＝3·＝，故选B.答案B4.△ABC的周长为20，面积为10，A＝60°，则BC的边长等于A.5B.6C.7D.8解析如图，由题意得则bc＝40，a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－3×40，∴a＝7.答案C5.在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝，cosA＝，则△ABC的面积等于A.B.C.2D.3解析因为b2－bc－2c2＝0，所以(b－2c)(b＋c)＝0，所以b＝2c.由a2＝b2＋c2－2bccosA，解得c＝2，b＝4，因为cosA＝，所以sinA＝，所以S△ABC＝bcsinA＝×4×2×＝.答案A6.(能力提升)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝A.10B.9C.8D.5解析由23cos2A＋2cos2A－1＝0，即25cos2A＝1，故cosA＝.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即49＝b2＋36－2×b×6×，整理得5b2－12b－65＝0，解得b＝5.答案D二、填空题(每小题5分，共15分)7.在锐角△ABC中，AB＝3，AC＝4，其面积S△ABC＝3，则BC＝________.3解析因为S△ABC＝·AB·AC·sinA＝3，所以sinA＝，又因为△ABC是锐角三角形，所以A＝，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cosA＝9＋16－2×3×4×＝13.答案8.已知△ABC的面积S＝，A＝，则AB·AC＝________.解析S△ABC＝·|AB|·|AC|·sinA，即＝·|AB|·|AC|·，所以|AB|·|AC|＝4，于是AB·AC＝|AB|·|AC|·cosA＝4×＝2.答案29.若在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝________.解析由面积公式得，bcsin60°＝，所以c＝4.由余弦定理得，a＝＝.因为＝＝＝，所以＝＝.答案三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)已知△ABC的三内角满足cos(A＋B)cos(A－B)＝1－5sin2C，求证：a2＋b2＝5c2.证明由已知得cos2Acos2B－sin2Asin2B＝1－5sin2C，∴(1－sin2A)(1－sin2B)－sin2Asin2B＝1－5sin2C，∴1－sin2A－sin2B＝1－5sin2C，∴sin2A...