1．把长为12厘米的细铁丝锯成两断，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是________．解析：设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝x2＋(4－x)2＝x2－2x＋4.令S′＝x－2＝0，则x＝2，所以Smin＝2.答案：2cm22．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________．解析： x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，x＝9.∴x∈(0,9)，y′>0；x∈(9，＋∞)，y′<0，y先增后减，∴x＝9时函数取最大值．答案：9万件3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为________．解析：设圆锥的高为hcm，∴V圆锥＝π(400－h2)×h，∴V′(h)＝π(400－3h2)．令V′(h)＝0，得h2＝，∴h＝(cm)．答案：cm4．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．解析：利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大．答案：115一、填空题1．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________．解析：设底面边长为x，高为h，∴x2·h＝V，∴h＝＝.∴S表＝2·x2＋3x·h＝x2＋，S′(x)＝x－，令S′(x)＝0可得x＝，∴x3＝4V，∴x＝.答案：2．某车间靠墙壁要盖一间矩形小屋，现有存砖只够砌20m长的墙壁，则应围成与墙平行的边长为________m，与墙垂直的边长为________m的矩形才能使小屋面积最大(门的大小忽略不计)．解析：设与墙平行的一边长为xm，与墙垂直的一边长为ym，则x＋2y＝20，y＝10－(00)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝±16. x>0，∴x＝16.当x＝16时，L极值＝Lmin＝64，∴堆料场的长为＝32(米)．答案：32米，16米5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析：设底面半径为r，高为h，∴πr2·h＝27π，∴r2·h＝27，∴h＝.∴S表＝2πr·h＋πr2＝＋πr2.∴S′(r)＝2πr－54πr－2，令S′(r)＝0，∴r＝3.答案：36．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大的矩形边长分别为________．解析：设位于抛物线y＝4－x2(－20，则另一个在曲线上的顶点为(－x，y)，在x轴上的两个顶点分别为(－x,0)，(x,0)．设矩形的面积为S，则S＝2x(4－x2)(00；当
