单元质检三导数及其应用(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)=lnx-x,则函数f(x)的单调递减区间是()A.(-∞,1)B.(0,1)C.(-∞,0),(1,+∞)D.(1,+∞)答案D2.曲线y=xx+2在点(-1,-1)处的切线方程为()A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-2答案A3.(2018全国1)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案D解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f'(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.4.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=()A.-1B.0C.2D.4答案B解析由条件,知f(3)=1,k=f'(3)=-13. g'(x)=f(x)+xf'(x),∴g'(3)=f(3)+3f'(3)=1+3×(-13)=0.故选B.15.设点P是曲线y=x3-√3x+23上的任意一点,则点P处切线倾斜角α的取值范围为()A.[0,π2)∪[5π6,π)B.[2π3,π)C.[0,π2)∪[2π3,π)D.(π2,5π6]答案C解析因为y'=3x2-√3≥-√3,故切线斜率k≥-√3,所以切线倾斜角α的取值范围是[0,π2)∪[2π3,π).故答案为C.6.已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则ab为()A.23B.-23C.13D.-13答案D解析y'=3x2, 点P(1,1)为曲线y=x3上一点,∴曲线y=x3在点P(1,1)处的切线斜率k=3,由条件知,3×ab=-1,∴ab=-13.故答案为D.7.已知f(x)=x3-2x2+x+6,则f(x)在点P(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于()A.4B.5C.254D.132答案C8.(2017山西五校联考改编)已知函数f(x)的导数为f'(x),f(x)不是常数函数,且(x+1)f(x)+xf'(x)≥0,对x∈[0,+∞)恒成立,则下列不等式一定成立的是()A.f(1)<2ef(2)B.ef(1)0时,不等式12x2+(1-a)x-alnx>2a-32a2恒成立,则a的取值范围是()A.[0,1)∪(1,+∞)B.(0,+∞)C.(-∞,0]∪(1,+∞)D.(-∞,1)∪(1,+∞)答案A2解析不妨令f(x)=12x2+(1-a)x-alnx-2a+32a2,则f'(x)=x+1-a-ax=x2+(1-a)x-ax=(x-a)(x+1)x,当a<0时f'(x)>0,f(x)在x>0时单调递增,当x→0时f(x)不恒大于0,不符合题意;当a=0时,f(x)=12x2+x在x>0时f(x)>0恒成立;当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,f(x)min=f(a)=a2-a-alna=a(a-1-lna),令g(a)=a-1-lna,g'(a)=1-1a,g(a)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,g(a)min=g(1)=0,故当a>0时且a≠1时f(x)>0,综上a的取值范围是[0,1)∪(1,+∞),故答案为A.10.若m∈R,函数f(x)=x-mx-2lnx有两个极值点x1,x2(x10,m>0,得00,y∈(0,3227);当89≤m<1时,y'<0,y∈(1,3227];因此mx2的取值范围为(0,3227)∪(1,3227]=(0,3227].故答案为A.二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.(2017浙江绍兴二模)已知函数f(x)=x3-3x,函数f(x)的图象在x=0处的切线方程是;函数f(x)在区间[0,2]内的值域是.答案y=-3x[-2,2]3解析函数f(x)=x3-3x,切点坐标(0,0),导数为y'=3x2-3,切线的斜率为-3,所以切线方程为y=-3x;3x2-3=0,可得x=±1,x∈(-1,1),y'<0,函数是减函数,x∈(1,+∞),y'>0,函数是增函数,f(0)=0,f(1)=-2,f(2)=8-6=2,函数f(x)在区间[0,2]内的值域是[-2,2].故答案为y=-3x;[-2,2].12.函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则a=,f(x)的单调递减区间是.答案1(-1,1)解析令f'(x)=3x2-3a=0,得x=±√a.f(x),f'(x)随x的变化情况如下表:x(-∞,-√a)-√a(-√a,√a)√a(√a,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗从而{(-√a)3-3a(-√a)+b=6...
