课时分层作业(六)等比数列的定义(建议用时：40分钟)一、选择题1．在等比数列{an}中，a2020＝8a2019，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．8D[由等比数列的定义知q＝＝8.]2．设a1＝2，数列{2an＋1}是公比为3的等比数列，则a6等于()A．606B．607C．608D．609B[由题意可知2an＋1＝(1＋2a1)·3n－1＝5×3n－1，∴2a6＋1＝5×36－1＝5×35，即a6＝＝607.]3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于()A．64B．81C．128D．243A[∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.又a1＋a2＝3，∴a1＝1.故a7＝1·26＝64.]4．在等比数列{an}中，若a1＝1，公比|q|≠1，且am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于()A．8B．9C．10D．11D[由题意可知am＝a·q10，又a1＝1，am＝qm－1，∴qm－1＝q10，即m－1＝10，解得m＝11.故选D.]5．在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则通项公式an＝()A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)nA[由a5＝－8a2知＝－8＝q3.所以q＝－2，又因为a5>a2，所以a5>0，a2<0，所以a1＝>0，所以a1＝1，所以an＝(－2)n－1.]二、填空题6．在等比数列{an}中，若a1＝2，a4＝4，则a7＝________.8[由a4＝a1q3得q3＝2，∴a7＝a4q3＝4×2＝8.]7．若数列{an}满足a9＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则a5＝_________.[由an＋1＝2an可知数列{an}是公比为2的等比数列，又a9＝1，∴an＝a9qn－9＝2n－9，∴a5＝2－4＝.]8．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.13×2n－3[由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.]三、解答题9．在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若an＝，求n.[解](1)因为a5＝a3q2，所以q2＝＝.所以q＝±.当q＝时，an＝a3qn－3＝32×n－3＝28－n；当q＝－时，an＝a3qn－3＝32×n－3.所以an＝28－n或an＝32×n－3.(2)当an＝时，28－n＝或32×n－3＝，解得n＝9.10．已知数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1,2an＋2＝an＋an＋1，bn＝an＋1－an.(1)求证：{bn}是等比数列；(2)求{bn}的通项公式．[解](1)证明：由条件得＝＝＝－.∴{bn}是等比数列．(2)∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－，∴bn＝1×n－1＝n－1.11．(多选题)在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，则下列说法正确的有()A．a1＝8B．公比q＝C．an＝2n－4D．an＝24－nABD[设公比为q，则＝q3＝＝，所以q＝，又a1＋a3＝a1＋a1q2＝10，所以a1＝8，所以an＝8·n－1＝24－n，故选ABD.]12．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，2记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为()A.B.C.D.C[第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝.]13．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝4，则数列{lgan}的通项公式为________．lgan＝(n－3)lg2[∵a5＝a4q，∴q＝2，∴a1＝＝，∴an＝·2n－1＝2n－3，∴lgan＝(n－3)lg2.]14．(一题两空)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则公比q＝________，a1a2…an的最大值为________．64[设等比数列{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1＝8，q＝，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，∴a1a2…an≤a1a2a3a4＝64.]15．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.[证明](1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)．整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴＝2·.故是以2为公比的等比数列．(2)由(1)知＝4·(n≥2)．于是Sn＋1＝4(n＋1)·＝4an(n≥2)，又∵a2＝3S1＝3，故S2＝a1＋a2＝4a1.因此对于任意正整数n≥1，都有Sn＋1＝4an.3
