习题课--椭圆方程及性质的综合应用课后训练案巩固提升A组1.已知点M(,0),直线y=k(x+)与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则△ABM的周长为()A.4B.8C.12D.16解析:椭圆+y2=1的焦点在x轴上,a2=4,b2=1,c=,所以椭圆的两个焦点为N(-,0),M(,0).又因为直线y=k(x+)必经过定点N(-,0),由椭圆的定义知△ABM的周长为AB+AM+BM=(AN+AM)+(BN+BM)=2a+2a=4a=8.答案:B2.设F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于()A.5B.4C.3D.1解析:由椭圆方程,得a=3,b=2,c=,因为|PF1|+|PF2|=2a=6,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,所以|PF1|=4,|PF2|=2.由22+42=(2)2可知,△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=×4×2=4.答案:B3.椭圆x2+4y2=36的弦被A(4,2)平分,则此弦所在的直线方程为()A.x-2y=0B.x+2y-4=0C.2x+3y-14=0D.x+2y-8=0解析:设以A(4,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于E(x1,y1),F(x2,y2), A(4,2)为EF中点,∴x1+x2=8,y1+y2=4,把E(x1,y1),F(x2,y2)分别代入椭圆x2+4y2=36,得∴(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,∴8(x1-x2)+16(y1-y2)=0,∴k==-,∴以A(4,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为y-2=-(x-4),整理,得x+2y-8=0.答案:D14.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,当△F1PF2的面积为1时,等于()A.0B.1C.2D.解析:设P(x0,y0),则依题意有·|F1F2|·|y0|=1,而|F1F2|=2,所以y0=±.故得x0=±.取P,可得=0.答案:A5.已知椭圆的两个焦点分别是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.射线D.直线解析:因为|PQ|=|PF2|且|PF1|+|PF2|=2a,所以|PQ|+|PF1|=2a.又因为F1,P,Q三点共线,所以|PF1|+|PQ|=|F1Q|.故|F1Q|=2a,即Q在以F1为圆心,以2a为半径的圆上.答案:A6.已知斜率为2的直线l被椭圆=1截得的弦长为,则直线l的方程为.解析:设直线l的方程为y=2x+m,与椭圆交于A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y并整理得14x2+12mx+3(m2-2)=0,所以x1+x2=-m,x1x2=(m2-2).由弦长公式得|AB|=,解得m=±,2所以直线l的方程为y=2x±.答案:y=2x±7.导学号90074062设AB是椭圆=1的不垂直于对称轴的弦,M为AB的中点,O为坐标原点,则kAB·kOM=.解析:由题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),则中点M,所以kAB=,kOM=,所以kAB·kOM=.又因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上,所以b2+a2=a2b2,b2+a2=a2b2,所以b2()+a2()=0,所以=-.答案:-8.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的方程;(2)若△PF1F2的面积为2,求点P的坐标.解(1)由题意知,2c=4,c=2,且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,所以a=4.所以b2=a2-c2=16-4=12.又椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的方程为=1.(2)设点P的坐标为(x0,y0),依题意知,|F1F2|·|y0|=2,所以|y0|=,y0=±,代入椭圆方程=1,得x0=±2,所以点P的坐标为(2)或(2,-)或(-2)或(-2,-).39.已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程.解设圆P的半径为r,又圆P过点B,所以|PB|=r.又因为圆P与圆A内切,圆A的半径为10,所以两圆的圆心距|PA|=10-r,即|PA|+|PB|=10(大于|AB|),所以点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.所以2a=10,2c=|AB|=6.所以a=5,c=3.所以b2=a2-c2=25-9=16.即点P的轨迹方程为=1.10.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且a2=2b.(1)求椭圆的方程;(2)若直线l:x-y+m=0与椭圆交于A,B两点,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.解(1)由题意得解得故椭圆方程为x2+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).联立直线与椭圆的方程得即3x2+2mx+m2-2=0,所以x0==-,y0=x0+m=,即M.又因为点M在圆x2+y2=5上,所以=5,解得m=±3.B组41.若点A(m,1)在椭圆=1的内部,则实数m的取值范围是()A.(-)B.(-∞,-)∪(,+∞)C.(-2,2)D.(-1,1)解析:因为点A(m,1)在椭圆=1的内部,所以<1,整理得m2<2,解得-b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析:根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A,B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a=2(|AF|+|BF|)=8,所以a=2.又d=,所以1≤b<2,所以e=.因为1≤...
