高中数学 第二章 数列 专题2.5 等比数列的前n项和试题 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP免费

2.5等比数列的前n项和1．等比数列的前n项和公式若等比数列{}na的首项为1a，公比为q，则等比数列{}na的前n项和的公式为1____,1.,1_______1nnqSaaqqq2．等比数列前n项和公式的函数特性（1）当公比___1q时，因为10a，所以1nSna是关于n的正比例函数，则数列123,,,,,nSSSSLL的图象是正比例函数1yax图象上的一群孤立的点．（2）当公比___1q时，等比数列的前n项和公式是1(1)1nnaqSq，即11nnaSqq11aq，设11amq，则上式可写成nnSmqm的形式，则数列123,,,,,nSSSSLL的图象是函数xymqm图象上的一群孤立的点．由此可见，非常数列的等比数列的前n项和nS是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．3．等比数列前n项和的性质设等比数列{}na的前n项和为nS，公比为q，则利用等比数列的通项公式及前n项和公式可推得等比数列的前n项和具有以下性质：（1）当1q时，____nmSS；当1q时，11nnmmSqSq．1（2）mnnmmnnmSSqSSqS．（3）若项数为2n，则SqS偶奇，若项数为21n，则1____SaS奇偶．（4）当1q时，连续m项的和（如232,,,mmmmmSSSSSL）仍组成等比数列（公比为mq，2m）．注意：这里连续m项的和均非零．K知识参考答案：1．1na1(1)1naqq2．3．nmqK—重点等比数列前n项和公式的应用、基本量的计算K—难点等比数列前n项和的性质及应用、与等差数列的综合问题、数列求和问题K—易错运用前n项和公式时忽略对公比的讨论等比数列的前n项和的相关计算问题在等比数列问题中共涉及五个量：1,,,nanqa及nS，利用等比数列的通项公式及前n项和公式即可“知三求二”．注意方程思想、整体思想及分类讨论等思想的应用．（1）已知等比数列{}na是递增数列，nS是{}na的前n项和，若1a，3a是方程21090xx的两个根，则6S______________；（2）在等比数列{}na中，公比为q，前n项和为nS，若37S，663S，则na______________，nS______________．【答案】（1）364；（2）12n，21n．【解析】（1）因为1a，3a是方程21090xx的两个根，且{}na是递增数列，2所以11a，39a，则公比313aqa，所以661(13)36413S．（2）方法1：由于632SS，所以1q，由37S，663S，可得3161(1)71(1)631aqqaqq①②，②①可得319q，解得2q，代入①得11a，所以1111122nnnnaaq，1(1)1(12)=21112nnnnaqSq．方法2：因为33612345612312333()()SaaaaaaaaaqaaaSqS，且37S，663S，所以36377q，解得2q，由313(12)712aS，解得11a，所以1111122nnnnaaq，1(1)1(12)=21112nnnnaqSq．【名师点睛】本题中，第（2）问中的方法1使用了求和公式，因此要对公比q是否为1作出判断，而方法2避开了使用求和公式，则避免了这一判断．在使用等比数列前n项和公式时，一定要先确定公比q是否等于1，当无法确定时，要对q是否为1作分类讨论．等比数列的前n项和性质的应用已知等比数列{}na的前n项和为nS，若1020S，20=60S，则30S______________．【答案】140【解析】方法1：设{}na的公比为q，由于20102SS，所以1q．由1020S，20=60S列方程组即可求解，此处不再赘述．方法2：由1020S，20=60S，易得公比1q，3根据等比数列前n项和的性质（1），可得020101011SqSq，即010106011201qqq，解得102q，又3030101011SqSq，所以33012=72012S，30140S．方法3：根据等比数列前n项和的性质（2），可得10201010SSqS，即10602020q，解得102q，所以1030102020260140SSqS．方法4：根据等比数列前n项和的性质（4），可知10S，2010SS，3020SS成等比数列，则22010103020()()SSSSS，即230(6020)20(60)S，解得30140S．【名师点睛】恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，可以避繁就简，不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论．解...