高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式 1.2.1 绝对值不等式例题与探究 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

1.2.1绝对值三角不等式典题精讲【例1】(经典回放)（1）若x<5,n∈N,则下列不等式：①|xlg1nn|<5|lg1nn|;②|x|lg1nn<5lg1nn;③xlg1nn<5|lg1nn|;④|x|lg1nn<5|lg1nn|.其中，能够成立的有___________.（2）不等式||||||baba≥1成立的充要条件是___________。思路解析：（2）题求充要条件，因而可从不等式的性质|a+b|≥|a|-|b|出发，去寻找原不等式成立的充要条件.(1) 0<1nn<1,∴lg1nn<0.由x<5，并不能确定|x|与5的关系，∴可以否定①②③，而|x|lg1nn<0,④成立.（2）当|a|>|b|时，有|a|-|b|>0,∴|a+b|≥||a|-|b||=|a|-|b|,∴必有||||||baba≥1.即|a|>|b|是||||||baba≥1成立的充分条件.当|||||||baba≥1时，由|a+b|>0,必有|a|-|b|>0.即|a|>|b|,故|a|>|b|是||||||baba≥1成立的必要条件.故所求为：|a|>|b|.答案：（1）④（2）|a|>|b|绿色通道：判断一个不等式成立与否，往往是对影响不等号的因素进行分析，如一个数的正、负、零等，1数（或式子）的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响，注意考察这些因素在不等式中的作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了.题（2）是求充要条件，一般要从两个方面来探讨，一是充分性，二是必要性，两者缺一不可，但为了尽快寻找到满足题意的条件，在对代数式化简整理或变形中，若能使其等价变形式都能保证其等价的条件，最终都将成为要求的“条件”.【变式训练】设ab>0,下面四个不等式①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|中，正确的是（）A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④思路解析： ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|.∴①④正确.答案：C【例2】设m等于|a|、|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：|2xbxa|<2.思路分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用.|a|、|b|和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m≥|a|、m≥|b|、m≥1.证明： |x|>m≥|a|,|x|>m≥|b||x|>m≥1|x|2>|b|,∴|2xbxa|≤|xa|+|2xb|=222||||||||||||||||xxxxxbxa=2.故原不等式成立.绿色通道：分析题目时，题目中的语言文字是我们解题的信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题中题设条件中的文字语言“m等于|a|,|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|，|m|≥|b|，m≥1”是证明本题的关键.【变式训练】已知a,b∈R且a≠0，求证：2||2||2||22baba.思路分析：本题中要证明的不等式，包含|a+b|,|a-b|,|a|-|b|，因而需要利用绝对值的不等式的性质，其中2|a|=|a+b+a-b|，是一种常用的拼凑法，其次，观察要证明的不等式，可以发现不等式的左边21（|a|-|b|），可能为正值(|a|≥|b|时），也可能非正(|a|<|b|时).因而，又涉及到分类讨论.证明：（1）若|a|≥|b|,左边=||1||11||||||||||||||||2||||babababababababababaababa. ||||1||1||||1||1babababa,2∴||||2||1||1bababa.∴左边≥2||||ba=右边.(2)若|a|<|b|,左边>0,右边<0,∴原不等式显然成立.综上可知原不等式成立.【例3】求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值.思路分析：若把x-3,x+1看作两个实数，则所给的代数式符合两个数绝对值的差的形式，因而可以联想到两个数和（差）的绝对值与两个数绝对值的和（差）之间的关系，进而可转化求解.另一思维是：含有这种绝对值函数式表示的是分段函数，所以也可以视为是分段函数求最值.解法一：||x-3|-|x+1||≤|(x-3)-(x+1)|=4,∴-4≤|x-3|-|x+1|≤4.∴ymax=4,ymin=-4.解法二：把函数看作分段函数.y=|x-3|-|x+1|=.3,4,31,22,1,4xxxx∴-4≤y≤4.∴ymax=4,ymin=-4.绿色通道：对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质解决相应问题.利用含绝对值不等式的性质定理进行“放缩”，有时也能产生比较好的效果，但这需要准确地处理“数”的差或和,以达到所需要的结果.【变式训练】...