7.3等比数列核心考点·精准研析考点一等比数列基本量的运算1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=14,a3=8,则a6等于()A.16B.32C.64D.1282.(2020·赣州模拟)Sn是等比数列{an}的前n项和,若S4,S3,S5成等差数列,则{an}的公比q的值为()A.B.-2C.1D.-2或13.已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.844.(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.25.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{an}的公比为()A.-2B.2C.-3D.3【解析】1.选C.因为S3=14,a3=8,所以q≠1,所以,解得a1=2,q=2或a1=18,q=-(舍),所以a6=a1q5=2×32=64.2.选B.由S4,S3,S5成等差数列知等比数列{an}的公比q≠1,因此得2S3=S5+S4,即=+,化简整理得q3(q+2)(q-1)=0,所以q=0(舍去),q=1(舍去)或q=-2.故q=-2.3.选B.设数列{an}的公比为q,则a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.4.选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因为a1>0且q>0,则可解得q=2,又因为a1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.5.选B.设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==qm+1=9,所以qm=8.所以==qm=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.把T1条件“S3=14,a3=8”改为“a3=9,S3=27”其他条件不变,则公比q的值为()A.1B.-C.1或-D.-1或-【解析】选C.当公比q=1时,a1=a2=a3=9,所以S3=3×9=27.符合题意.当q≠1时,S3=,所以27=,所以a1=27-18q,因为a3=a1q2,所以(27-18q)·q2=9,所以(q-1)2(2q+1)=0,所以q=-.综上q=1或q=-.解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求出关键量a1和q,问题便可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,将q分为q=1和q≠1两种情况进行讨论.【秒杀绝招】1.应用转化法解T2选B.由S4,S3,S5成等差数列,得2S3=S5+S4,即2(a1+a2+a3)=2(a1+a2+a3+a4)+a5,整理得a5=-2a4,所以=-2,即q=-2.故选B.2.应用等比数列性质解T3:选B.设数列{an}的公比为q,则a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,所以a3+a5+a7=42.考点二等比数列的判断与证明【典例】1.已知数列{an}中,a1=1,若an=2an-1+1(n≥2),则a5的值是________.【解题导思】序号联想解题(1)由an=2an-1+1(n≥2)及a1=1,联想到数列的递推公式求a5(2)由an=2an-1+1(n≥2)联想到转化法求通项公式【解析】因为an=2an-1+1,所以an+1=2(an-1+1),所以=2,又a1=1,所以{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,即an+1=2×2n-1=2n,所以a5+1=25,即a5=31.答案:31【一题多解】由an=2an-1+1(n≥2)及a1=1,联想到数列的递推公式求a5,当n=2得a2=3,同理得a3=7,a4=15,a5=31.答案:312.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*),若bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列.【解题导思】序号题目拆解(1)①Sn+1=4an+2(n∈N*)②出现Sn+2=4an+1+2(n∈N*)(2)①bn=an+1-2an②证明{bn}是等比数列把n换为n+1左式和已知式子相减an+2=4an+1-4an,把n换为n+1得出bn+1转化为证明为常数【证明】因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an,所以====2.因为S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5.所以b1=a2-2a1=3.所以数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.若本例2中的条件不变,试求{an}的通项公式.【解析】由题知bn=an+1-2an=3·2n-1,所以-=,故是首项为,公差为的等差数列.所以=+(n-1)·=,所以an=(3n-1)·2n-2.1.等比数列的四种常用判定方法(1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N*)或=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列.(2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0且=an·an+2(n∈N*),则{an}是等比数列.(3)通项公式法:若数列{an}的通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.(4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列.2.证明某数列不是等比数列若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2018...
