课后提升训练十八反证法(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()A.有两个内角是直角B.有三个内角是直角C.至少有两个内角是直角D.没有一个内角是直角【解析】选C.“最多只有一个”的否定是“至少有两个”.2.命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是()A.无解B.两解C.至少两解D.无解或至少两解【解析】选D.“解是唯一的”的否定是“无解或至少两解”.3.实数a,b,c不全为0等价于()A.a,b,c均不为0B.a,b,c中至多有一个为0C.a,b,c中至少有一个为0D.a,b,c中至少有一个不为0【解析】选D.实数a,b,c不全为0,即a,b,c中至少有一个不为0.【补偿训练】否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是()A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解【解析】选C.在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有(n+1)个”,所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”.4.(2017·潍坊高二检测)(1)已知p3+q3=2,求证:p+q≤2.用反证法证明时,可假设p+q≥2.(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下结论正确的是()A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确;(2)的假设错误D.(1)的假设错误;(2)的假设正确【解析】选D.(1)的假设应为p+q>2;(2)的假设正确.15.若方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-2]∪[-1,+∞)B.[-2,1]C.(-∞,1]∪[2,+∞)D.[-2,-1]【解析】选A.假设两个方程都没有实数根,则有解得-2
0”是“P,Q,R同时大于零”的()A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.必要性显然,充分性:若PQR>0,则P,Q,R同时大于零或其中两个为负,不妨设P<0,Q<0,R>0,因为P<0,Q<0,即a+b0矛盾,所以P,Q,R同时大于零.7.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=an+2,bn=bn+1(a,b是常数),且a>b,那么两个数列中序号与数值均相同的项有()A.0个B.1个C.2个D.无穷多个【解析】选A.假设存在序号和数值均相等的项,即存在n使得an=bn,由题意a>b,n∈N*,则恒有an>bn,从而an+2>bn+1恒成立,所以不存在n使an=bn.【补偿训练】设椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)()A.必在圆x2+y2=2上B.必在圆x2+y2=2外C.必在圆x2+y2=2内D.以上三种情形都有可能【解析】选C.因为e==,2所以a=2c.所以b2=a2-c2=3c2.假设点P(x1,x2)不在圆x2+y2=2内,则+≥2,但+=(x1+x2)2-2x1x2=+=+=<2,二者矛盾.所以假设不成立.所以点P(x1,x2)必在圆x2+y2=2内.8.已知α∩β=l,a⊂α,b⊂β,若a,b为异面直线,则()A.a,b都与l相交B.a,b中至少一条与l相交C.a,b中至多有一条与l相交D.a,b都与l相交【解析】选B.如果l与a,b不相交,则l与a,b都平行,所以直线a,b平行,与直线a,b异面矛盾,因此l至少与a,b中一条相交.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·长沙高二检测)“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是________________.【解析】该命题的否定有两部分,一是任何三角形,二是至少有两个,其否定应为“存在一个三角形,其外角最多有一个钝角”.答案:“存在一个三角形,其外角最多有一个钝角”10.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误.②所以一个三角形不能有两个直角.③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°.上述步骤的正确顺序为________.【解析】由反证法的步骤可知,正确顺序为③①②.答案:③①②三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1.求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.【证明】假设a,b,c,d都是非负数,因为a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1.又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd,所以ac+bd≤1,3这与已知ac+bd>1矛盾,所以a,b,c,d中至少有一个是负数.12.求证:过一点只...
