2.1.2一般形式的柯西不等式一、选择题1.设a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝3，则＋＋的最小值为()A.9B.3C.D.1解析[()2＋()2＋()2]·≥即(a＋b＋c)≥32.又∵a＋b＋c＝3，∴＋＋≥3，最小值为3.答案B2.已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为()A.1B.nC.D.2解析由柯西不等式(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)≥(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2得1·1≥(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2，∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn≤1.所求的最大值为1.答案A3.已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y，z的值为()A.，，B.，，C.1，，D.1，，解析x2＋y2＋z2＝≥＝，当且仅当时，等号成立，则4k＋9k＋16k＝29k＝10，解得k＝，∴选B.答案B二、填空题4.已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围为________.解析4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2即4(16－e2)≥(8－e)2，即64－4e2≥64－16e＋e2∴5e2－16e≥0，故0≤e≤.答案5.设a，b，c＞0且a＋b＋c＝A(A为常数).则＋＋的最小值为________.解析＋＋＝≥＝.答案三、解答题6.已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的最值.解由柯西不等式得，有(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2由条件可得，5－a2≥(3－a)2解得，1≤a≤2当且仅当＝＝时等号成立，代入b＝，c＝，d＝时，amax＝2.b＝1，c＝，d＝时，amin＝1.17.设a1>a2>…>an>an＋1，求证：＋＋…＋＋>0.证明∵a1－an＋1＝(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)，∴[(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)]·≥(·＋·＋…＋·)2＝n2>1.∴(a1－an＋1)>1.即＋＋…＋>，故＋＋…＋＋>0.8.设P是△ABC内的一点，x，y，z是P到三边a，b，c的距离.R是△ABC外接圆的半径，证明：＋＋≤·.证明由柯西不等式得，＋＋＝＋＋≤.设S为△ABC的面积，则ax＋by＋cz＝2S＝2＝，＋＋≤＝≤，故不等式成立.9.已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；(2)求a2＋b2＋c2的最小值.解(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立.又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b.所以f(x)的最小值为a＋b＋c.又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得(4＋9＋1)≥＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥.当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立，故a2＋b2＋c2的最小值是.2
