课时训练15简单的线性规划问题1.已知x,y满足则z=x+y()A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值D.既无最小值,也无最大值答案:B解析:作出可行域如图,由z=x+y,得y=-x+z,令z=0,作出直线y=-x,当它的平行线经过点A(2,0)时,z取得最小值,最小值为2,无最大值.2.如果点P在平面区域上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为()A.-1B.-1C.2-1D.-1答案:A解析:由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界),点P到点Q的最小距离为(-1,0)到(0,-2)的距离减去半径1,|PQ|min=-1=-1.3.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为()A.-1B.1C.D.2答案:B解析:可行域如图中阴影部分所示,由得交点P(1,2).当直线x=m经过点P时,m取到最大值1.4.(2016课标全国高考甲卷)若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为.(导学号51830111)答案:-5解析:作出可行域,如图阴影部分所示.1由z=x-2y,得y=x-z,故当直线y=x-z过点A时,-z最大,z最小.由得A(3,4),所以z的最小值为3-2×4=-5.5.已知变量x,y满足约束条件的最大值是.答案:6解析:作出图象可知,此不等式组表示的平面区域是以(1,3),(1,6)和为顶点的三角形区域(包括边界),而可表示为可行域内的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,最大值为=6.6.已知实数x,y满足如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m等于.答案:5解析:可行域如图中阴影所示,由可得A.又∵z=x-y,∴y=x-z.当y=x-z过点A时,z最小.∴=-1,∴m=5.7.已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值,求a的取值范围.解:变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.在坐标系中画出可行域,如图为四边形ABCD,2其中A(3,1),kAD=1,kAB=-1,目标函数z=ax+y(其中a>0)中的z表示斜率为-a的直线系中的截距的大小,若仅在点(3,1)处取得最大值,则斜率应小于kAB=-1,即-a<-1,所以a的取值范围为(1,+∞).8.记不等式组所表示的平面区域为D,若直线y=a(x+1)与D有公共点,求a的取值范围.解:直线y=a(x+1)恒过定点P(-1,0)且斜率为a,作出可行域后数形结合可解.不等式组所表示的平面区域D为如图阴影部分所示(含边界),且A(1,1),B(0,4),C.直线y=a(x+1)恒过定点P(-1,0)且斜率为a.由斜率公式可知kAP=,kBP=4.若直线y=a(x+1)与区域D有公共点,数形结合可得≤a≤4.9.若实数x,y满足且x2+y2的最大值为34,求正实数a的值.(导学号51830112)解:在平面直角坐标系中画出约束条件所表示的可行域如图(形状不定),其中直线ax-y-a=0的位置不确定,但它经过定点A(1,0),斜率为a.又由于x2+y2=()2,且x2+y2的最大值等于34,所以可行域中的点与原点距离的最大值等于.解方程组得M的坐标为,解方程组得P的坐标为.又∵OM=,∴点P到原点距离最大.∴+9=34,又a>0,故解得:a=.10.某厂用甲、乙两种原料生产A,B两种产品,已知生产1tA产品,1tB产品分别需要的甲、乙原料数,可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示.问:在现有原料下,A,B产品应各生产多少才能使利润总额最大?列产品和原料关系表如下:产品所需原料原料A产品(1t)B产品(1t)总原料(t)3甲原料(t)2510乙原料(t)6318利润(万元)43解:设生产A,B两种产品分别为xt,yt,其利润总额为z万元,根据题意,可得约束条件为作出可行域如图:目标函数z=4x+3y,作直线l0:4x+3y=0,再作一组平行于l0的直线l:4x+3y=z,当直线l经过P点时z=4x+3y取得最大值,由解得:交点P,所以有zmax=4×+3×1=13(万元).所以生产A产品2.5t,B产品1t时,总利润最大,为13万元.4
