高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.1 常见函数的导数作业 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

3.2.1常见函数的导数[基础达标]1．若函数f(x)＝10x，则f′(1)＝________.解析：∵f′(x)＝(10x)′＝10xln10，∴f′(1)＝10ln10.答案：10ln102．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′≠；③若y＝，则y′＝－2x－3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中正确的序号是________．解析：①y′＝(x－3)′＝－3x－4＝－，正确．②y′＝(x)′＝x－＝≠，不正确．③y′＝(x－2)′＝－2x－3，正确．④f′(x)＝(3x)′＝3，∴f′(1)＝3，正确．答案：①③④3．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为________．解析：∵y′＝(x－1)′＝－＝－4，∴x2＝，x＝±.∴切点坐标为(，2)或(－，－2)．答案：(，2)或(－，－2)4．已知f(x)＝xa(a∈Z)，若f′(－1)＝－4，则a的值等于________．解析：∵f′(x)＝axa－1∴f′(－1)＝a·(－1)a－1＝－4，∴a＝4.答案：45．设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是________．解析：∵y′＝(sinx)′＝cosx∈[－1,1]，∴在P点处的切线l的斜率k∈[－1,1]，设其倾斜角为α，则－1≤tanα≤1，∴0≤α≤或≤α<π.答案：[0，]∪[，π)6．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有________条．解析：∵y′＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点(，)和点(－，－)处有斜率为1的切线．答案：27．求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝4x；(3)y＝log9x；(4)y＝sin2x＋cos2x；(5)y＝sin(＋x)．解：(1)y′＝(x)′＝x－.(2)y′＝4xln4＝2(ln2)·4x.(3)y′＝＝.(4)∵y＝sin2x＋cos2x＝1，∴y′＝1′＝0.(5)∵y＝sin(＋x)＝cosx，∴y′＝－sinx.8．求曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积．解：∵f′(x)＝(ex)′＝ex，∴f′(2)＝e2.∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)．令x＝0，则y＝－e2，令y＝0，则x＝1，∴切线与坐标轴交点坐标为(1,0)和(0，－e2)，∴S＝×1×e2＝e2.[能力提升]1．曲线y＝x3在点(0,0)处的切线方程是________．解析：∵y′＝(x3)′＝3x2，∴k＝y′|x＝0＝0.∴y＝x3在点(0,0)处的切线方程是y＝0.答案：y＝02．若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝1－2x＋x2，则y′＝f′(x)＝________.解析：∵f(x－1)＝1－2x＋x2＝(x－1)2，∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝(x2)′＝2x.答案：2x3．求函数y＝cosx在点x＝－处的切线方程．解：∵y′＝(cosx)′＝－sinx，∴y＝cosx在点x＝－处的切线斜率k＝－sin(－)＝，1又当x＝－时，y＝cos(－)＝.∴切点坐标为(－，)，由点斜式得切线方程为y－＝(x＋)，即x－y＋＋1＝0.4．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率k＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为(，)，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝.所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.2