第63讲两直线的位置关系与对称问题夯实基础【p144】【学习目标】1．掌握两直线平行、垂直、相交的条件，能灵活运用点到直线的距离公式及两直线平行、垂直的条件解决有关问题．2．掌握中心对称、轴对称等问题的几何特征和求解的基本方法．并能利用图形的对称性解决有关问题．【基础检测】1．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是()A．1B．－3C．1或D．－3或【解析】由题得＝4，解方程即得k＝－3或.【答案】D2．点P(2，5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是()A．(－5，－2)B．(－4，－1)C．(－6，－3)D．(－4，－2)【解析】设点P(2，5)关于直线x＋y＝1的对称点Q的坐标为(m，n)，则由题意可得∴m＝－4，n＝－1.【答案】B3．若两直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为()A.B.C.D.【解析】因为两条直线平行，所以3m＝6，所以m＝2.所以两条直线可以化为3x＋y－3＝0与3x＋y＋＝0所以两条平行线之间的距离为d＝＝.【答案】D4．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为()A．3B．2C．3D．4【解析】因为直线l1∥l2，所以AB的中点M的轨迹是x＋y－6＝0，原点到直线l：x＋y－6＝0的距离为＝3，故AB中点M到原点距离的最小值为3.【答案】A5．不论k为何实数，直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0恒通过一个定点，这个定点的坐标是________．【解析】直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0，即k(2x－y－1)＋(－x－3y＋11)＝0，根据k的任意性可得解得∴不论k取什么实数时，直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0都经过定点(2，3)．【答案】(2，3)【知识要点】1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇒__k1＝k2__，特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直①如果l1，l2的斜率存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔__k1k2＝－1__．②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.2．两直线相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．相交⇔方程组有__唯一解__，交点的坐标就是方程组的解；平行⇔方程组__无解__；重合⇔方程组有__无穷多组解__．3．三种距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝____；(2)点P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝____；(3)两平行线Ax＋By＋C1＝0，与Ax＋By＋C2＝0间的距离为__d＝__．4．中心对称(1)设平面上的点M(a，b)，P(x，y)，P′(x′，y′)，若满足：＝a，＝b，那么，我们称P，P′两点关于点M对称，点M叫做对称中心．(2)点与点对称的坐标关系：设点P(x，y)关于M(x0，y0)的对称点P′的坐标是(x′，y′)，则5．轴对称(1)设平面上有直线l：Ax＋By＋C＝0和两点P(x，y)，P′(x′，y′)，若满足下列两个条件：①__PP′⊥直线l__；②__PP′的中点在直线l上__，则点P，P′关于直线l对称．(2)对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解：①关于x轴对称(以__－y__代__y__)；②关于y轴对称(以__－x__代__x__)；③关于y＝x对称(__x、y__互换)；④关于x＋y＝0对称(以__－x__代__y__，以__－y__代__x__)；⑤关于x＝a对称(以__2a－x__代__x__)；⑥关于y＝b对称(以__2b－y__代__y__)．(3)对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)对称，则6．直线系(1)与Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为：Ax＋By＋λ＝0；与Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋λ＝0.(λ为待定系数，λ∈R)(2)过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程可设为：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R且不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0)，其中A1B2≠A2B1.典例剖析【p144】考点1两条直线的平行与垂直问题已知直线l1的方程为3x＋4y－12＝0.(1)若直线l2与l1平行，且过点(－1，3)，求直线l2的方程；(2)若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．【解析】(1)由...
