阶段质量评估(二)几个重要的不等式A卷(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设n∈N＋，则4n与3n的大小关系是()A．4n>3nB．4n＝3nC．4n<3nD．不确定解析：4n＝(1＋3)n，由贝努利不等式，得(1＋3)n≥1＋n·3＝1＋3n>3n，即4n>3n.答案：A2．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)”时，第一步应验证()A．1＋<2－B．1＋＋<2－C．1＋<2－D．1＋＋<2－解析： n≥2，n∈N＋，∴第一步应验证当n＝2时，1＋<2－.答案：A3．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)()A．大于零B．大于或等于零C．小于零D．小于或等于零解析：设a≥b≥c>0，则a3≥b3≥c3.依据排序不等式，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.又ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.答案：B4．若5x1＋6x2－7x3＋4x4＝1，则3x＋2x＋5x＋x的最小值是()A．B．C．3D．解析：因为≥2＝(5x1＋6x2－7x3＋4x4)2＝1，所以3x＋2x＋5x＋x≥.答案：B5．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现选择商店中单价为5元、3元、2元的商品作为奖品，则至少要花()A．300元B．360元C．320元D．340元解析：由排序不等式，可知逆序和最小．∴最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元)．答案：C6．已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y，z的值分别为()A．，，B．，，C．1，，D．1，，1解析：当且仅当＝＝时取到最小值，联立可得x＝，y＝，z＝.答案：B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)7．若x＋y＋z＋t＝4，则x2＋y2＋z2＋t2的最小值为________.解析：由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2＋t2)(12＋12＋12＋12)≥(x＋y＋z＋t)2，当且仅当x＝y＝z＝t＝1时取等号．故x2＋y2＋z2＋t2的最小值为4.答案：48．已知a∈(0，＋∞)，x＋≥2，x＋≥3，…，x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为________.解析： x＋≥2，x＋＝＋＋≥3＝3，∴x＋＝＋＋＋…＋＋≥(n＋1)＝(n＋1)＝n＋1.∴a＝nn(n∈N＋)．答案：nn(n∈N＋)9．设x1，x2，…，xn为不同的正整数，则m＝＋＋…＋的最小值是_________.解析：设a1，a2，…，an是x1，x2，…，xn的一个排列，且满足a1
>>…>，所以＋＋＋…＋≥a1＋＋＋…＋≥1×1＋2×＋3×＋…＋n·＝1＋＋＋…＋.答案：1＋＋＋…＋三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分10分)已知x，y，z∈(0，＋∞)，且x＋y＋z＝1，求证：＋＋≥81.证明：由柯西不等式，得(x＋y＋z)≥2＝81，当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号．所以＋＋≥81.11．(本小题满分12分)设x>0，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.证明：当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn，由顺序和≥逆序和，得1×1＋x·x＋x2·x2＋…＋xn·xn≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①因为x，x2，x3，…，xn,1为序列1，x，x2，…，xn的一个排列，由乱序和≥逆序和，得1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，即x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.②将①和②相加，得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.③当0x>x2>…>xn.2①②仍然成立，于是③也成立．综上，原不等式成立．12．(本小题满分13分)已知正数x，y，z满足5x＋4y＋3z＝10.(1)求证：＋＋≥5；(2)求9x2＋9y2＋z2的最小值．(1)证明：根据柯西不等式，得[(4y＋3z)＋(3z＋5x)＋(5x＋4y)]≥(5x＋4y＋3z)2.因为5x＋4y＋3z＝10，所以＋＋≥＝5.(2)解：根据平均值不等式，得9x2＋9y2＋z2≥2＝2×3x2＋y2＋z2，当且仅当x2＝y2＋z2时等号成立．根据柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(52＋42＋32)≥(5x＋4y＋3z)2＝100，当且仅当＝＝时等号成立．所以x2＋y2＋z2≥2.综上，9x2＋9y2＋z2≥2×32＝18，当且仅当x＝1，y＝，z＝时等号成立．所以9x2＋9y2＋z2的最小值为18.B卷(时间：60分钟满分：...
