高中数学 第二章 随机变量及其分布 2-3-2 离散型随机变量的方差随堂达标验收 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学试题VIP专享VIP免费

2-3-2离散型随机变量的方差1．牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)等于()A．0.2B．0.8C．0.196D．0.804[解析]∵ξ～B(10,0.02)，∴D(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.[答案]C2．投掷一枚骰子的点数为ξ，则()A．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.52B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝[解析]∵P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3,4,5,6，∴E(ξ)＝×(1＋2＋3＋…＋6)＝3.5，E(ξ2)＝×(12＋22＋…＋62)＝，∴D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2＝－＝.[答案]B3．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.[解析]由得p＝.[答案]4．随机变量ξ的取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.[解析]由题意设P(ξ＝1)＝p，则ξ的分布列为ξ012Pp－p由E(ξ)＝1，可得p＝，所以D(ξ)＝12×＋02×＋12×＝.[答案]课内拓展课外探究1．常用分布的方差(1)两点分布：若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．注意：上述公式证明如下：由于X服从两点分布，即P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，∴E(X)＝p，E(X2)＝02×(1－p)＋12×p＝p，∴D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝p－p2＝p(1－p)．(2)二项分布：若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．注意：上述结论证明如下：∵X～B(n，p)，令q＝1－p，则P(X＝i)＝Cpiqn－i，∴E(X2)＝2Cpiqn－i＝(i－1)Cpiqn－i＋Cpiqn－i＝(i－1)Cpiqn－i＋E(X)＝n(n－1)p2pi－2q(n－2)－(i－2)＋E(X)＝n(n－1)p2pjq(n－2)－j＋E(X)＝n(n－1)p2(p＋q)n－2＋E(X)＝n(n－1)p2＋E(X)＝n(n－1)p2＋np，1∴D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝n(n－1)p2＋np－(np)2＝np－np2＝npq.故D(X)＝np(1－p)．(3)超几何分布：若随机变量X服从超几何分布，即X～H(N，M，n)，则D(X)＝.某人投篮命中的概率为p＝0.4.(1)求投篮一次，命中次数X的均值和方差；(2)求重复10次投篮时命中次数Y的均值和方差．[解](1)X的分布列为X01P0.60.4E(X)＝0×0.6＋1×0.4＝0.4.D(X)＝(0－0.4)2×0.6＋(1－0.4)2×0.4＝0.24.(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(10,0.4)，∴E(Y)＝np＝10×0.4＝4，D(Y)＝10×0.4×0.6＝2.4.[点评]由随机变量的方差的计算公式可知，欲求随机变量的方差应先求该随机变量的数学期望．若该随机变量服从一些特殊的分布(如两点分布、二项分布、超几何分布)，可以直接利用已知的公式进行计算．2．方差的求法(1)定义法求离散型随机变量的方差的步骤：①明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；②求出随机变量取各个值的概率；③列出分布列；④利用公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn求出随机变量的期望E(X)；⑤代入公式D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xi－E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2pn求出方差D(X)；⑥代入公式σ(X)＝求出随机变量的标准差σ.(2)利用公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2求方差公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2的证明如下：D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xp1＋xp2＋…＋xpn)＋2E(X)·(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)＋(E(X))2(p1＋p2＋…＋pn)＝E(X2)－2(E(X))2＋(E(X))2＝E(X2)－(E(X))2.利用公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2可以简化求方差的过程．盒子中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两个球，求取出白球的个数的期望和方差．[解]取出白球个数ξ的可能取值为0,1,2.ξ＝0表示取出的两个球都是黑球，P(ξ＝0)＝＝；ξ＝1表示取出的两个球一个黑球，一个白球，P(ξ＝1)＝＝；ξ＝2表示取出的两个球都是白球，P(ξ＝2)＝＝，于是：E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.2，D(ξ)＝(0－1.2)2×＋(1－1.2)2×＋(2－1.2)2×＝0.36，或E(ξ2)＝02×＋12×＋22×＝1.8，2D(ξ)＝E(ξ)2－(E(ξ))2＝1.8－1.22＝0.36.[点评]求离散型随机变量的数学期望和方差，往往先求概率分布，再根据定义求解，在方差的计算过程中，利用D(ξ)＝E(ξ)2－(E(ξ))2计算方差要简便一些．设随机变量X的分布列为ξ12…nP…求D(X)．[解]解法一：E(X)＝1×＋2×＋…＋n×＝(1＋2＋…＋n)×＝×＝，于是，有D(X)＝2×＋2×＋…＋2×＝＝.解法二：由解法一可求得E(X)＝.又E(X2)＝12×＋22×＋…＋n2×＝(12＋22＋…＋n2)＝.∴D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝－＝.[点评]本例的解法二比解法一简捷得多，这是因为公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2是由公式D(X)＝(xi－E(X))2pi展开并化简后得到的结论，因此利用公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2来计算D(X)就避免了用公式D(X)＝(xi－E(X))2pi的复杂的展开、化简过程．当随机变量X为n(不是具体的数值)个时，在计算E(X)及D(X)时，应把“n”当作常量来计算．3