第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程课后篇巩固提升基础达标练1.已知方程x2k-4+y210-k=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()A.(4,10)B.(7,10)C.(4,7)D.(4,+∞)解析依题意有k-4>10-k>0,解得70,n>0),则{16m=1,4n=1,解得{m=116,n=14,故选D.答案D3.已知椭圆x2k+y2=1的一个焦点是(2,0),那么实数k=()A.√3B.√5C.3D.5解析因为椭圆x2k+y2=1的一个焦点是(2,0),所以k>1,因为k-1=4,所以k=5.故选D.答案D4.已知F1,F2分别为椭圆x225+y29=1的左、右焦点,倾斜角为60°的直线l过点F1,且与椭圆交于A,B两点,则△AF2B的周长为()A.10B.12C.16D.20解析由椭圆x225+y29=1可得a=5,△AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,所以△AF2B周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|,由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△AF2B周长=4a=20.故选D.答案D5.(多选题)椭圆x2m+y28=1的焦距为4,则m的值可能是()A.12B.10C.6D.4解析因为椭圆的焦距为2c=4,则c=2,当焦点在x轴上时,有m=8+22=12,解得m=12;当焦点在y轴上时,有8=m+22,解得m=4.故m=4或12.答案AD6.一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,√3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为()A.x28+y26=1B.x216+y26=1C.x28+y24=1D.x216+y24=1解析 |PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,P是椭圆上的一点,∴2|F1F2|=|PF2|+|PF1|=2a,∴a=2c.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则{a=2c,a2=b2+c2,4a2+3b2=1,解得a=2√2,c=√2,b2=6.故椭圆的方程为x28+y26=1.答案A7.过点(√3,-√5),且与椭圆y225+x29=1有相同的焦点的椭圆的标准方程为.解析椭圆y225+x29=1的焦点为(0,±4),设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),则有a2-b2=16,①再代入点(√3,-√5),得5a2+3b2=1,②由①②解得a2=20,b2=4.则所求椭圆方程为y220+x24=1.答案y220+x24=18.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点是F1,F2,P是椭圆的一个动点,如果M是线段F1P的中点,那么动点M的轨迹是.(填轨迹的名称)解析由题知|PF1|+|PF2|=2a,设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(其中a>b>0).连接MO,当P不在x轴上时,由三角形的中位线可得|F1M|+|MO|=a(a>|F1O|),当P在x轴上时,|MF1|+|MO|=a(a>|F1O|),所以M的轨迹为以F1,O为焦点的椭圆.答案椭圆9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3√2);(2)经过两点(2,-√2),(-1,√142).解(1)(方法1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0).由椭圆的定义知2a=√(4-0)2+(3√2+2)2+√(4-0)2+(3√2-2)2=12,所以a=6.又c=2,所以b=√a2-c2=4√2.所以椭圆的标准方程为y236+x232=1.(方法2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设其标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0).由题意得{18a2+16b2=1,a2=b2+4,解得{a2=36,b2=32.所以椭圆的标准方程为y236+x232=1.(2)(方法1)若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).由已知条件得{4a2+2b2=1,1a2+144b2=1,解得{1a2=18,1b2=14.所以所求椭圆的标准方程为x28+y24=1.同理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在.综上,所求椭圆的标准方程为x28+y24=1.(方法2)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).将两点(2,-√2),(-1,√142)代入,得{4A+2B=1,A+144B=1,解得{A=18,B=14,所以所求椭圆的标准方程为x28+y24=1.能力提升练1.F1是椭圆x29+y25=1的左焦点,P是椭圆上的动点,A(1,1)为定点,则|PA|+|PF1|的最小值是()A.9-√2B.6-√2C.3+√2D.6+√2解析如图所示,设点F2为椭圆的右焦点,连接F2A并延长交椭圆于点P',连接P'F1,PF2. |PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF1|=6-|PF2|,∴|PA|+|PF1|=|PA|+6-|PF2|=6+(|PA|-|PF2|).根据三角形两边之差小于第三边,当点P位于P'时,|PA|-|PF2|最小,其值为-|AF2|=-√2,此时|PA|+|PF1|的最小值为6-√2.答案B2.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则⃗OP·⃗FP的最大值为()A.2B.3C.6D.8解析由题意,得F(-1,0),设点P(x0,y0),设y0...
