高考解答题专项练——解析几何1.如图,已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),过点A(0,-1)作直线l与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设直线QB,BP与x轴分别相交于M,N两点.(1)如果p=2,且三角形BPQ的面积为4,求直线l的方程;(2)如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,求MN的长度.解(1)直线l的斜率必定存在,设为k,则l的方程为y=kx-1,因为p=2,把y=kx-1代入x2=4y得x2-4kx+4=0,则Δ=16k2-16>0,所以k2>1.设P,Q两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2为方程x2-4kx+4=0的两个解,因此x1+x2=4k,x1x2=4,所以|PQ|=√1+k2|x1-x2|=4√1+k2·√k2-1,点B(0,1)到直线l的距离d=2√k2+1,由三角形BPQ的面积为4,得12·4√1+k2·√k2-1·2√k2+1=4,解得k=±√2,满足k2>1.因此直线l的方程为√2x-y-1=0或√2x+y+1=0.(2)把直线l的方程代入x2=2py得x2-2pkx+2p=0,设P,Q两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2为方程x2-2pkx+2p=0的两个解,因此x1x2=2p,kBP=y1-1x1=x12-2p2px1=x12-x1x22px1=x1-x22p,同理kBQ=x2-x12p,因此kBP+kBQ=0,因为QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,所以QB的斜率为-√3,从而∠BMN=∠BNM=60°,即△MNB为正三角形.因为BO为正三角形MNB的高,且|BO|=1,所以|MN|=2√33.2.(2017浙江高考样卷)如图,已知椭圆x22+y2=1的左、右顶点分别是A,B,设点P(√2,t)(t>0),连接PA交椭圆于点C,坐标原点是O.(1)证明:OP⊥BC;(2)若四边形OBPC的面积是3√25,求t的值.(1)证明设直线PA的方程为y=t2√2(x+√2),1由{x22+y2=1,y=t2√2(x+√2),整理得(4+t2)x2+2√2t2x+2t2-8=0,解得x1=-√2,x2=4√2-√2t24+t2,则点C的坐标是(4√2-√2t24+t2,4t4+t2),故直线BC的斜率kBC=-√2t,由于直线OP的斜率kOP=t√2,故kBC·kOP=-1,则OP⊥BC;(2)解由S四边形OBPC=3√25,S四边形OBPC=√2t3+2√2t4+t2,得√2t3+2√2t4+t2=3√25,整理得(t-1)(5t2+2t+12)=0, 5t2+2t+12≠0,∴t=1.3.(2018浙江4月摸底)已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且该抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程;(2)已知抛物线上一点M(t,4),过点M作抛物线的两条弦MD和ME,且MD⊥ME,判断直线DE是否过定点?并说明理由.解(1)由题意设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),其准线方程为x=-p2, 点P(4,m)到焦点的距离等于点P到其准线的距离,∴4+p2=5.∴p=2.∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)由(1)可得点M(4,4),可得直线DE的斜率不为0,设直线DE的方程为x=my+t,联立{x=my+t,y2=4x,得y2-4my-4t=0,则Δ=16m2+16t>0.(*)设D(x1,y1),E(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4t. ⃗MD·⃗ME=(x1-4,y1-4)·(x2-4,y2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2-4(y1+y2)+16=y124·y224-4(y124+y224)+16+y1y2-4(y1+y2)+16=(y1y2)216-(y1+y2)2+3y1y2-4(y1+y2)+32=t2-16m2-12t+32-16m=0,即t2-12t+32=16m2+16m,得(t-6)2=4(2m+1)2,∴t-6=±2(2m+1),即t=4m+8或t=-4m+4,代入(*)式检验知t=4m+8满足Δ>0,∴直线DE的方程为x=my+4m+8=m(y+4)+8.2∴直线过定点(8,-4).4.已知椭圆L:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,过点(1,√22),与x轴不重合的直线过定点T(m,0)(m为大于a的常数),且与椭圆L交于两点A,B(可以重合),点C为点A关于x轴的对称点.(1)求椭圆L的方程;(2)①求证:直线BC过定点M,并求出定点M的坐标;②求△OBC面积的最大值.解(1)由题意可得e=ca=√22,1a2+12b2=1,a2-b2=c2,解得a=√2,b=1,即椭圆的方程为x22+y2=1.(2)①证明:由对称性可得直线BC过定点,定点在x轴上,设直线l的方程为x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x1,-y1),代入椭圆方程x2+2y2=2,可得(2+t2)y2+2tmy+m2-2=0,即有Δ=4t2m2-4(2+t2)(m2-2)>0,即为8(t2-m2+2)>0,y1+y2=-2tm2+t2,y1y2=m2-22+t2.设BC:y+y1=y2+y1x2-x1(x-x1),令y=0,可得x=x1y2+x2y1y1+y2=(ty1+m)y2+(ty2+m)y1y1+y2=2ty1y2y1+y2+m=2t(m2-2)-2tm+m=2m,则直线BC过定点M(2m,0).②记△OBC的面积为S,则S=12|OM|·|y2+y1|=1m·|2tm2+t2|=2|t|+2|t|,由Δ>0可得|t|>√m2-2(m>√2),ⅰ若√m2-2>√2,即m>2,Smax=2√m2-2+2√m2-2;ⅱ若√2
