高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 导数概念 3.1.2 问题探索—求作抛物线的切线同步练习 湘教版选修1-1-湘教版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

3.1.2问题探索—求作抛物线的切线1．若f(x)＝3x，则f(x)在x＝1处的切线的斜率是()．A．0B．1C．2D．32．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a的值是()．A．1B．C．－D．－13．过点P(2,5)的曲线y＝x2＋1的切线方程是()．A．x－4y－3＝0B．4x－y－3＝0C．3x－y－4＝0D．x－y－3＝04．曲线y＝在点P(，2)处的切线方程是()．A．4x＋y＋4＝0B．x＋4y＋4＝0C．4x＋y－4＝0D．x＋4y－4＝05．过点Q(3,5)，且与曲线y＝x2相切的直线方程是()．A．y＝2x－1或y＝10x－25B．y＝2x－1C．y＝10x－25D．y＝2x＋1或y＝10x＋256．抛物线y＝f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率k是__________．7．曲线f(x)＝x3在点P(2,8)处的切线方程是__________．8．P是抛物线y＝x2上一点，若过点P的切线与直线y＝－x＋1垂直，则过P点的切线方程是__________．9．已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程．(2)第(1)问中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？10．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．1参考答案1．D2．A设f(x)＝ax2，则＝＝da＋2a.当d趋于0时，da＋2a趋于2a.∴2a＝2.∴a＝1.3．B∵点P(2,5)在曲线y＝x2＋1上，∴＝d＋4.当d趋于0时，d＋4趋于4.∴所求切线的方程是y－5＝4(x－2)，即4x－y－3＝0.4．C∵点P(，2)在曲线y＝上，∴＝.当d趋于0时，趋于－4.∴切线方程为y－2＝－4(x－)，即4x＋y－4＝0.5．A∵Q(3,5)不在曲线y＝x2上，∴设所求切线的切点为A(x0，y0)．∴y0＝x02.又＝2x0＋d，且当d趋于0时，2x0＋d趋于2x0.∴＝＝2x0.∴x0＝1或x0＝5.∴切点为(1,1)或(5,25)，∴所求切线的斜率为2或10.∴所求切线的方程是y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1或y＝10x－25.6．7∵A(2,10)在抛物线f(x)＝x2＋3x上，∴＝＝7＋d.当d趋于0时，7＋d趋于7.∴k＝7.7．y＝12x－16∵P(2,8)在曲线f(x)＝x3上，∴＝＝12＋6d＋d2.当d趋于0时，12＋6d＋d2趋于12.∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16.8．y＝2x－1设P(x0，x02)，则＝2x0＋d，当d趋于0时，2x0＋d趋于2x0.∵切线与直线y＝－x＋1垂直，∴2x0×(－)＝－1.∴x0＝1.∴切点为P(1,1)，k＝2.∴过P点的切线方程是y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.9．解：(1)将x＝1代入y＝x3，得y＝1，∴切点为P(1,1)．又＝3＋3d＋d2，且当d趋于0时，3＋3d＋d2趋于3，∴k＝3.∴过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由得x1＝1，x2＝－2，2∴公共点为P1(1,1)，P2(－2，－8)，说明切线与曲线C的公共点除了切点P1(1,1)外，还有另外一个公共点P2(－2，－8)．10．解：(1)由得x2＋4＝10＋x，即x2－x－6＝0.∴x＝－2或x＝3.代入直线的方程得y＝8或y＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)和(3,13)．(2)设抛物线上任意一点M(x，x2＋4)，再另任取一点N(x＋d，(x＋d)2＋4)，d≠0，则kMN＝＝2x＋d.当d趋于0时，kMN趋于2x，即过点M(x，x2＋4)的切线斜率为2x.∴在点(－2,8)处的切线的斜率为－4，在点(3,13)处的切线的斜率为6.∴所求切线方程为y－8＝－4(x＋2)和y－13＝6(x－3)，即4x＋y＝0和6x－y－5＝0.3