第7讲正弦定理与余弦定理1．(2019·兰州市实战考试)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝ac，c＝2a，则cosC＝()A.B．－C.D．－解析：选B.由题意得，b2＝ac＝2a2，b＝a，所以cosC＝＝＝－，故选B.2．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．4B.C.D．2解析：选A.因为cosC＝2cos2－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4，故选A.3．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为()A．6B．3C．2D．2或3解析：选D.因为S△ABC＝2＝bcsinA，所以bc＝6，又因为sinA＝，所以cosA＝，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.4．(2019·安徽合肥模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为()A．4πB．8πC．9πD．36π解析：选C.已知bcosA＋acosB＝2，由正弦定理可得2RsinBcosA＋2RsinAcosB＝2(R为△ABC的外接圆半径)．利用两角和的正弦公式得2Rsin(A＋B)＝2，则2RsinC＝2，因为cosC＝，所以sinC＝，所以R＝3.故△ABC的外接圆面积为9π.故选C.5．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA－acosB＝0，且b2＝ac，则的值为()A.B.C．2D．4解析：选C.在△ABC中，由bsinA－acosB＝0，利用正弦定理得sinBsinA－sinAcosB＝0，所以tanB＝，故B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac，即b2＝(a＋c)2－3ac，又b2＝ac，所以4b2＝(a＋c)2，求得＝2.6．在△ABC中，A＝，b2sinC＝4sinB，则△ABC的面积为________．解析：因为b2sinC＝4sinB，所以b2c＝4b，所以bc＝4，S△ABC＝bcsinA＝×4×＝2.答案：27．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________．解析：由余弦定理：cosA＝＝＝，所以sinA＝，cosC＝＝＝，所以sinC＝，所以＝＝1.答案：18．(2018·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．解析：由bsinC＋csinB＝4asinBsinC得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，因为sinBsinC≠0，所以sinA＝.因为b2＋c2－a2＝8，cosA＝，所以bc＝，所以S△ABC＝bcsinA＝××＝.答案：9．(2017·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.(1)求sinC的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．解：(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，所以由正弦定理得sinC＝＝×＝.(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得72＝b2＋32－2b×3×，解得b＝8或b＝－5(舍)．所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×8×3×＝6.10．(2019·贵州省适应性考试)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝4，bsinA＝3.(1)求tanB及边长a的值；(2)若△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．解：(1)在△ABC中，acosB＝4，bsinA＝3，两式相除，有＝＝tanB＝，又acosB＝4，所以cosB>0，则cosB＝，故a＝5.(2)由(1)知，sinB＝，由S＝acsinB＝9，得c＝6.由b2＝a2＋c2－2accosB＝13，得b＝.故△ABC的周长为11＋.1．(2019·长沙市统一模拟考试)△ABC中，C＝，AB＝3，则△ABC的周长为()A．6sin＋3B．6sin＋3C．2sin＋3D．2sin＋3解析：选C.设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝＝2，于是BC＝2RsinA＝2sinA，AC＝2RsinB＝2sin，于是△ABC的周长为2[sinA＋sin]＋3＝2sin＋3.选C.2．(2019·安徽江南十校联考)设△ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若△ABC的三个内角大小满足A∶B∶C＝3∶4∶5，则的值为()A.B.C.D.解析：选D.在△ABC中，A＋B＋C＝π，又A∶B∶C＝3∶4∶5，所以A＝，B＝，C＝π.由正弦定理＝＝＝2R(a、b、c为△ABC中角A、B、C的对边，R为△ABC的外接圆半径)可得，a＝·c，b＝·c，R＝.所以S1＝absinC＝···c2·sinC＝sinA·sinB·sinC·，S2＝πR2＝·，所以＝＝＝，故选D.3．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．解析：在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得...
