（浙江专用）高考数学一轮复习 课时跟踪检测（四十一）立体几何中的向量方法（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪检测（四十一）立体几何中的向量方法一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析：选B a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)，∴n＝－2a，即a∥n，∴l⊥α.2．(2018·嘉兴模拟)已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是()A．(2,4，－1)B．(2,3,1)C．(－3,1,5)D．(5,13，－3)解析：选D由题意知，AB＝(－2，－6，－2)，设点D(x，y，z)，则DC＝(3－x,7－y，－5－z)，因为AB＝DC，所以x＝5，y＝13，z＝－3，故选D.3．(2018·舟山模拟)已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O为坐标原点，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为()A．±B.C．－D．±解析：选C因为OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，所以cos120°＝＝－，解得λ＝－.4．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.解析：因为α∥β，所以u1∥u2，所以＝＝，所以y＝1，z＝－4，所以y＋z＝－3.答案：－35．(2019·绍兴质检)如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．解析： 60°的二面角的棱上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，∴CD＝CA＋AB＋BD，CA·AB＝0，AB·BD＝0， AB＝4，AC＝6，BD＝8，∴CD2＝(CA＋AB＋BD)2＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·BD＝36＋16＋64＋2×6×8×cos120°＝68，∴CD的长为2.答案：26．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP＝VC，VM＝VB，VN＝VD.则VA与平面PMN的位置关系是________．解析：如图，设VA＝a，VB＝b，VC＝c，则VD＝a＋c－b，由题意知PM＝b－c，PN＝VD－VC＝a－b＋c.因此VA＝PM＋PN，∴VA，PM，PN共面．又 VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.答案：平行1二保高考，全练题型做到高考达标1.如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1綊BC，二面角A1ABC是直二面角．求证：(1)A1B1⊥平面AA1C；(2)AB1∥平面A1C1C.证明： 二面角A1ABC是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，∴AA1⊥平面ABC.又 AB＝AC，BC＝AB，∴∠CAB＝90°，即CA⊥AB，∴AB，AC，AA1两两互相垂直．建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AB＝2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)．(1)A1B1＝(0,2,0)，A1A＝(0,0，－2)，AC＝(2,0,0)，设平面AA1C的一个法向量n＝(x，y，z)，则即即取y＝1，则n＝(0,1,0)．∴A1B1＝2n，即A1B1∥n.∴A1B1⊥平面AA1C.(2)易知AB1＝(0,2,2)，A1C1＝(1,1,0)，A1C＝(2,0，－2)，设平面A1C1C的一个法向量m＝(x1，y1，z1)，则即令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1)．∴AB1·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，∴AB1⊥m.又AB1⊄平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C.2．(2018·浙江名校联考)如图，在直三棱柱ADFBCE中，AB＝BC＝BE＝2，CE＝2，点K在线段BE上．(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)若EB＝4EK，求直线AK与平面BDF所成角φ的正弦值．解：(1)证明：在直三棱柱ADFBCE中，AB⊥平面BCE，因为BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以AB⊥BE，AB⊥BC.又AB＝BC＝BE＝2，CE＝2，所以BC2＋BE2＝CE2，且AC⊥BD，所以BE⊥BC.因为AB∩BC＝B，所以BE⊥平面ABCD.因为AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC.又BD∩BE＝B，所以AC⊥平面BDE.(2)法一：设AK交BF于点N，由(1)知，AB，AF，AD两两垂直且长度都为2，所以△BDF是边长为2的正三角形，所以点A在平面BDF内的射影M为△BDF的中心．连接MN，MF，AM，如图所示，则∠ANM为直线AK与平面BDF所成的角φ.又FM＝××2＝，所以AM＝＝＝.因为EB＝4EK，所以BK＝，所以AK＝＝＝.2因为＝，所以＝，即＝，解得AN＝.在Rt△ANM中，sinφ＝＝＝.所以直线AK与平面BDF所成角φ的正弦值为.法二：由(1)知，AB，BC，BE两两垂直，以B为坐标原点，BC，BA，BE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，F(0,2,2)，A(0,2,0)，D(2，2,0)，BD＝(2,2,0)，BF＝(0,2,2)．因为EB＝4EK，所以K，所以...