高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理自主训练 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

1.1正弦定理和余弦定理自主广场我夯基我达标1.在△ABC中，A=60°,a=13,则CBAcbasinsinsin等于()A.8138B.3392C.339D.72思路解析:由比例的运算性质,知CBAcbasinsinsin=CcBbAasinsinsin，由题意，已知A、a，可得33922313sinAa.答案:B2.△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为()A.6B.3C.2D.32思路解析:p∥q(a+c)(c-a)=b(b-a)b2+a2-c2=ab，利用余弦定理，得2cosC=1，即cosC=21C=3.答案:B3.在△ABC中，若CcBbAacoscoscos，则△ABC是()A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形思路解析:设CcBbAasinsinsin=k，则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC，代入CcBbAacoscoscos，得CCBBAAcossincossincossin.于是sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0,∴A=B.同理,B=C，C=A.答案:B4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=3,a=3,b=1，则c等于()A.1B.2C.13D.3思路解析:由正弦定理，得sinB=21，又a＞b，所以A＞B，故B=30°.所以C=90°.故c=2.也可以利用b2+c2-a2=2bccosA求解.答案:B5.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.若sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8,则a∶b∶c=____________,∠B的大小是____________.1思路解析: CcBbAasinsinsin，sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8,∴a∶b∶c=5∶7∶8.令a=5,b=7,c=8，则cosB=2180402222acbca.∴∠B=3.答案:5∶7∶836.在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC=____________.思路解析:已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理.由正弦定理,得60sin45sinBCAC，解得AC=64.答案:647.已知钝角△ABC的三边a=k,b=k+2,c=k+4，求k的取值范围.思路分析：由三角形中大边对大角的性质,可知角C为最大角，即C为钝角，则cosC＜0,结合余弦定理可求解.注意已知三边a，b，c，必须首先能构成一个三角形，方法是两边之和大于第三边.解： c＞b＞a,∴角C为钝角.由余弦定理，得cosC=)2(212422222kkkkabcba＜0.∴k2-4k-12＜0,即-2＜k＜6.又由三角形两边之和大于第三边，即k+(k+2)＞k+4，得k＞2.∴2＜k＜6.8.△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,角C等于角A的2倍，a+b=10,cosA=43，求:(1)ac的值;(2)b的值.思路分析：由C=2A，得sinC=sin2A，利用二倍角公式结合正弦定理可求ac的值；利用余弦定理及ac的值联立求b.解：(1) C=2A,∴sinC=sin2A=2sinAcosA.由正弦定理,得ACacsinsin=2cosA=2×43=23.(2)cosA=bcacb2222=43,又a+b=10，c=a23，联立，解得2.5,5950,940baba或当a=5,b=5时，三角形为等腰三角形，由A=B及C=2A可得A=45°，这与cosA=43矛盾，不合题意，∴b的值为950.我综合我发展9.在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c.求证：CBAcbasin)sin(222.思路分析：分析所给的等式左右两边的差异，利用正弦定理、余弦定理实现边、角的统一.证明：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，得a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.整理,得cAbBacbacoscos222.依正弦定理，有CAcasinsin,CBcbsinsin，∴CBACABBAcbasin)sin(sincossincossin222.10.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长,且bcaBC3coscos.(1)求sinB；(2)若b=24，且a=c，求△ABC的面积.思路分析：本题所给已知条件中，既有边又有角，第一个问题是求其中一内角的正弦，由此容易想到利用正弦定理、余弦定理，把已知条件中的边角之间的关系全部转化为角之间的关系，从而将问题解决.第二个问题容易想到利用三角形相应的面积公式，围绕着公式去考虑需要些什么条件.解：(1)由正弦定理得BCbcBAbasinsin,sinsin，又BCABCbcaBCsinsinsin3coscos,3coscos，即sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，sin(B+C)=3sinAcosB.又sin(B+C)=sin(π-A)=sinA＞0，∴sinA=3sinAcosB.∴cosB=31.3又0＜B＜π，∴sinB=322cos12B.(2)在△ABC中，由余弦定理,得a2+c2-32ac=32，又a=c，∴234a=32,a2=24.∴S△ABC=28)2(2122bab.11.某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南...