5.1二项式定理[A组基础巩固]1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()A．80B．40C．20D．10解析：(1＋2x)5的第r＋1项为Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr，令r＝2，得x2的系数为22·C＝40.答案：B2．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是()A．－20B．－15C．15D．20解析：设展开式的常数项是第r＋1项，则Tr＋1＝C·(4x)6－r·(－2－x)r，即Tr＋1＝C·(－1)r·22(6－r)x·2－rx＝C·(－1)r·212x－3rx，令12x－3rx＝0，则r＝4，∴展开式中的常数项为T5＝C(－1)4＝15.答案：C3．对于二项式(＋x3)n的展开式(n∈N＋)，四位同学作出了四种判断：①存在n∈N＋，展开式中有常数项；②对任意n∈N＋，展开式中没有常数项；③对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N＋，展开式中有x的一次项．上述判断中正确的是()A．①与③B．②与③C．①与④D．②与④解析：Tk＋1＝C()n－k·x3k＝Cx4k－n，可知当n＝4，k＝1时，4k－n＝0，故①正确；n＝3，k＝1时，4k－n＝1，故④正确．答案：C4．1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)nC的值为()A．1B．－1C．(－1)nD．3n解析：1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)nC＝[1＋(－2)]n＝(1－2)n＝(－1)n.答案：C5．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A．－4B．－3C．－2D．－1解析：展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1，故选D.答案：D6．(2－)6的二项展开式中的常数项为________(用数字作答)．解析：(2－)6的展开式通项公式是Tr＋1＝C(2)6－r(－)r＝C26－r(－1)rx3－r，由题意知3－r＝0，r＝3，所以二项展开式中的常数项为T4＝C23(－1)3＝－160.答案：－1607．若6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．1解析：6展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r(－1)r·()r·x－2r＝Cx6－3r(－1)r·()r.令6－3r＝0，即得r＝2.故C()2＝60，解得a＝4.答案：48．若(x－)n的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2，则展开式中第三项的二项式系数为________．解析：(x－)n的展开式中第二项与第四项分别为T2＝Cxn－1(－)1＝－nxn－1，T4＝Cxn－3(－)3＝－2Cxn－3.由题意得＝，即n2－3n－4＝0，解得n＝4或n＝－1(舍去)．所以第三项的二项式系数为C＝6.答案：69．对于(＋)9的展开式，(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式的中间两项．解析：Tr＋1＝C()9－r()r＝C·32r－9x9－r.(1)当9－r＝0，即r＝6时展开式是常数项，即常数项为T7＝C·33＝2268；(2)(＋)9的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，T5＝C·38－9x9－6＝42x3，T6＝C·310－9x9－＝378x.10．已知在n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求展开式中所有的有理项．解析：(1)二项展开式的通项为C()n－rr＝(－3)rCx. 第6项为常数项，∴当r＝5时，＝0，解得n＝10.(2)根据通项公式，由题意，得令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－k. r∈Z，∴k应为偶数，∴k＝2,0，－2，∴r＝2,5,8.∴第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61236,295245x－2.[B组能力提升]1．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45B．60C．120D．210解析：由题意知f(3,0)＝CC，f(2,1)＝CC，f(1,2)＝CC，f(0,3)＝CC，因此f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝120，选C.答案：C2．(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是()A．－4B．－2C．2D．42解析：(1＋2)3的通项为Tr＋1＝C2rx，(1－)5的通项为Tk＋1＝(－1)kCx.要求展开式中x的系数，只需(1＋2)3中的常数项及一次项系数与(1－)5中的一次项系数及常数项分别相乘再求和，即1×(－10)＋12×1＝－10＋12＝2.答案：C3．若(2x2－)n(n∈N*)的展开式中含有常数项，则n的最小值为________．解析：Tr＋1＝C(2x2)n－r(－)r＝C2n－rx2n－2r(－1)r·x－＝(－1)r2n－rCx2n－.令2n－＝0，得6n＝7r，因而n必须是7的倍数，nmin＝7.答案：74．二项式(＋)n展开式中，前三项系数依次组成等差数列，则展开式中的常数项等于________．解析：由题意得1＋n(n－1)＝2×，解方程得：n＝8，Tr＋1＝Cx(8－r)·(x－)r＝Cx－－·()r，令－－＝0，得r＝2，∴常数项为T3＝C·()2＝7.答案：75．(x＋)100展开式所得关于x的多项式中系数为有理数的共有多少项...
