3.2均值不等式课时过关·能力提升1函数f(x)=x+4x+3在(-∞,-2]上()A.无最大值,有最小值7B.无最大值,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1D.有最大值-1,无最小值解析 x≤-2,∴f(x)=x+4x+3=-[(-x)+(-4x)]+3≤-2√(-x)(-4x)+3=-1,当且仅当-x=-4x,即x=-2时,等号成立.故f(x)有最大值-1,无最小值,故选D.答案D2若x≥52,则f(x)=x2-4x+52x-4有()A.最大值54B.最小值54C.最大值1D.最小值1解析 x≥52,∴x-2>0.∴f(x)=x2-4x+52x-4=x-22+12(x-2)≥1,当且仅当x-22=12(x-2),即x=3时,等号成立,∴f(x)min=1.答案D3若点P(x,y)是直线x+3y-2=0上的动点,则3x+27y有()A.最大值8B.最小值8C.最小值6D.最大值6解析因为点P(x,y)在直线x+3y-2=0上,所以x+3y=2.1所以3x+27y=3x+33y≥2√3x·33y=2√3x+3y=2√32=6.当且仅当x=3y,即x=1,y=13时,等号成立.所以3x+27y有最小值6.答案C4若a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2√3,则2a+b+c的最小值为()A.√3-1B.√3+1C.2√3+2D.2√3-2解析因为a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2√3,所以a2+ab+ac+bc=4-2√3,所以4-2√3=a2+ab+ac+bc=14(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)≤14(4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2).当且仅当b=c时,等号成立.所以(2√3-2)2≤(2a+b+c)2,则2a+b+c≥2√3-2.答案D★5设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当zxy取得最小值时,x+2y-z的最大值为()A.0B.98C.2D.94解析由x2-3xy+4y2-z=0,得x2+4y2-3xy=z,因为x,y,z为正实数,所以zxy=x2+4y2xy-3≥2√x2·4y2xy-3=4xyxy-3=1,当且仅当x2=4y2,即x=2y时,zxy有最小值1,将x=2y代入原式,得z=2y2,所以x+2y-z=2y+2y-2y2=-2y2+4y,所以当y=1时x+2y-z有最大值2.故选C.答案C26一批救灾物资随26辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于(v20)2km,那么这批物资全部到达灾区,最少需要h.解析从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地所需要的时间为400v+25×(v20)2v=400v+25v400≥2√400v×25v400=10,当且仅当v=80时,等号成立.答案107设a≥0,b≥0,且a2+b22=1,则a√1+b2的最大值为.解析由a2+b22=1,知2a2+b2=2,即2a2+(1+b2)=3.因为2a2+(1+b2)≥2√2a2·(1+b2),所以a√1+b2≤32√2=3√24,当且仅当2a2=1+b2,即a=√32,b=√22时,等号成立.答案3√248若直线ax+by+1=0(a,b>0)过圆x2+y2+8x+2y+1=0的圆心,则1a+4b的最小值为.解析 圆心(-4,-1)在所给直线上,∴4a+b=1.∴1a+4b=(1a+4b)(4a+b)=8+ba+16ab≥8+2√16=16(当且仅当b=4a时,等号成立).答案169若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是.解析由x2+y2+xy=1,得1=(x+y)2-xy,∴(x+y)2=1+xy≤1+(x+y)24(当且仅当x=y时,等号成立),解得-2√33≤x+y≤2√33.3∴x+y的最大值为2√33.答案2√3310某游泳馆出售冬季游泳卡,每张240元,其使用规定:不记名,每卡每次只限一人使用,每天只限使用一次.某班有48名同学,老师打算组织同学们去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名同学,每次的包车费均为40元.(1)若使每个同学游8次,每人最少应交多少元钱?(2)若使每个同学游4次,每人最少应交多少元钱?解(1)设每批去x名同学,共需去48×8x批,总开支为y元.总开支y又分为:①买卡所需费用240x,②包车所需费用48×8x×40.所以y=240x+48×8x×40(0y2,所以当x=6时,y有最小值,即ymin=2720.故每人最少应交272048≈56.67(元).11用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为2m2的正四棱锥形有盖容器(如图所示),设容器高为hm,盖子边长为am.(1)求a关于h的解析式;(2)设容器的容积为Vm3,则当h为何值时,V最大?并求出V的最大值.(求解本题时,容器厚度可忽略不计)解(1)设正四棱锥的斜高为h'm,由题设,得{a2+4·12h'a=2,h2+14a2=h'2,消去h',解得a=1√h2+1(a>0)...
