第一章解三角形测评A(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC中,a=4,b=4,A=30°,则角B等于()A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°解析:根据正弦定理得,sinB=. b>a,∴B>A=30°,∴B=60°或120°.答案:D2.在△ABC中,已知b=,c=1,B=45°,则a等于()A.B.C.+1D.3-解析:由b2=a2+c2-2accosB,得2=a2+1-2acos45°,解得a=或a=(舍去).答案:B3.如图,在200米高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为()A.米B.米C.米D.米解析:由题意,可知∠BAC=30°,∠OAC=∠ACB=30°,AC=.又B=120°,在△ABC中,由正弦定理,得BC=(米).1答案:A4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cosC=()A.B.-C.±D.解析:由正弦定理得,将8b=5c及C=2B代入得,化简得,则cosB=.所以cosC=cos2B=2cos2B-1=2×-1=,故选A.答案:A5.在△ABC中,b=asinC,c=acosB,则△ABC一定是()A.等腰三角形,但不是直角三角形B.等边三角形C.直角三角形,但不是等腰三角形D.等腰直角三角形解析:由c=acosB得,c=a·,∴a2=b2+c2,∴△ABC为直角三角形,∴b=asinC=a·=c,∴△ABC是等腰直角三角形.答案:D6.△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,a+c=3,cosB=,则等于()A.B.-C.3D.-3解析:由余弦定理得cosB=,解得b2=2,∴ac=b2=2.2∴=ac·cos(π-B)=-2cosB=-.答案:B7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A等于()A.30°B.60°C.120°D.150°解析:利用正弦定理,sinC=2sinB可化为c=2b,所以cosA==,所以A=30°.答案:A8.已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为()A.4B.5C.5D.6解析: S△ABC=acsinB,∴c=4.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=25,∴b=5.由正弦定理2R==5(R为△ABC外接圆的半径).答案:C9.已知锐角三角形的边长分别为2,4,x,则x的取值范围是()A.10),则a2+b2=c2,新三角形的三边分别为a+d,b+d,c+d,设它们所对的角分别为A,B,C.3则cosC=. (a+d)2+(b+d)2-(c+d)2=d2+2(a+b-c)·d>0.∴cosC>0,∴C为锐角.又C是最大角,所以新的三角形是锐角三角形.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-,则b=.解析: b+c=7,∴c=7-b.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,即b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×,解得b=4.答案:412.在△ABC中,BC=1,B=,当△ABC的面积等于时,sinC=.解析:设AB=c,AC=b,BC=a,则△ABC的面积S=acsinB=,解得c=4,所以b=.所以cosC==-.所以sinC=.答案:13.在△ABC中,BC=3,AB=2,且+1),则A=.解析:由a=3,c=2,且,知b=-1.4∴cosA==-.∴A=120°.答案:120°14.在△ABC中,a=14,A=60°,b∶c=8∶5,则该三角形的面积为.解析:设另两边长分别为8x和5x,则cos60°=,解得x=2,所以b=16,c=10.∴S△ABC=bcsinA=×16×10sin60°=40.答案:4015.一艘船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向,行驶4h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为km.解析:如图,由已知条件,得AC=60km,∠BAC=30°,∠ACB=105°,∠ABC=45°.由正弦定理得,即BC=·sin∠BAC=·sin30°=30(km).答案:30三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求C.解:由B=π-(A+C),得cosB=-cos(A+C).于是cos(A-C)+cosB=cos(A-C)-cos(A+C)=2sinAsinC.由已知得sinAsinC=.①由a=2c及正弦定理得sinA=2sinC.②5由①②得sin2C=,于是sinC=-(舍去)或sinC=.又a=2c,所以C=.17.(6分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.解:(1)由bsinA=acosB及正弦定理,得sinB=cosB,所以tanB=,所以B=.(2)由sinC=2sinA及,得c=2a...
