高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 正弦定理(2)学业分层测评 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学试题VIP免费

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一章解三角形1.1.2正弦定理(2)学业分层测评苏教版必修5(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知△ABC的面积为且b＝2，c＝2，则A＝______.【解析】∵S△ABC＝bcsinA，b＝2，c＝2，∴×2×2sinA＝，∴sinA＝.又A∈(0，π)，∴A＝或.【答案】或2．海上有A，B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是________nmile.【解析】如图所示，易知C＝45°，由正弦定理得＝，∴BC＝＝5.【答案】53．(2016·苏州高二检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________.【导学号：91730006】【解析】由正弦定理知，＝，结合条件得c＝＝2.又sinA＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝＋1.【答案】＋14．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝________.【解析】由正弦定理得＝，∵B＝2A，a＝1，b＝，∴＝.∵A为三角形的内角，∴sinA≠0，∴cosA＝.又0＜A＜π，∴A＝，∴B＝2A＝.∴C＝π－A－B＝，即△ABC为直角三角形，由勾股定理得c＝＝2.【答案】25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为________．【解析】由正弦定理得，原式＝＝22－1＝2×2－1＝.【答案】6．(2016·泰州高二检测)在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形一定是________三角形．1【解析】由a＝2bcosC可知sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C，∴b＝c，∴△ABC为等腰三角形．【答案】等腰7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinB·cosC＋csinBcosA＝b，且a>b，则B＝________.【解析】根据正弦定理将边化角后约去sinB，得sin(A＋C)＝，所以sinB＝，又a>b，所以A>B，所以B＝.【答案】8．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为________．【解析】设最小角为α，则最大角为120°－α，∴＝，∴2sin(120°－α)＝(＋1)sinα，∴sinα＝cosα，∴α＝45°，∴最大角为120°－45°＝75°.【答案】75°二、解答题9．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，求这时船与灯塔的距离．【解】如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，∴∠ABC＝45°，AC＝60.根据正弦定理，得BC＝＝＝30(km)．10．在△ABC中，∠A的平分线交BC于D，用正弦定理证明：＝.【证明】如图，由题意可知，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，在△ABD中，由正弦定理得＝，①在△ADC中，由正弦定理得＝，②又sin∠1＝sin∠2，sin∠3＝sin∠4，故得＝.能力提升]1．在△ABC中，＝，则△ABC的形状一定是________．2【解析】在△ABC中，∵＝，∴acosA＝bcosB，由正弦定理，得2RsinAcosA＝2RsinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°.故△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．【答案】等腰或直角三角形或等腰直角三角形2．(2016·南京高二检测)在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，则的取值范围为________．【解析】在锐角三角形ABC中，A，B，C均小于90°，即∴30°