板块命题点专练（十三）圆锥曲线命题点一椭圆1．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.B.C.D.解析：选D如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝.2．(2018·浙江高考)已知点P(0,1)，椭圆＋y2＝m(m＞1)上两点A，B满足AP＝2PB，则当m＝________时，点B橫坐标的绝对值最大．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP＝2PB，得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以解得y2＝m＋，所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大．答案：53．(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.解：(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1.则点A的坐标为或.又M(2,0)，所以直线AM的方程为y＝－x＋或y＝x－，即x＋y－2＝0或x－y－2＝0.(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＜，x2＜，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得kMA＋kMB＝.将y＝k(x－1)代入＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．1所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB成立．4．(2018·天津高考)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b,0)，且|FB|·|AB|＝6.(1)求椭圆的方程．(2)设直线l：y＝kx(k＞0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q，若＝sin∠AOQ(O为原点)，求k的值．解：(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.①由已知可得|FB|＝a，|AB|＝b，又|FB|·|AB|＝6，可得ab＝6.②联立①②解得a＝3，b＝2.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)．由已知有y1＞y2＞0，故|PQ|sin∠AOQ＝y1－y2.又因为|AQ|＝，而∠OAB＝，所以|AQ|＝y2.由＝sin∠AOQ，可得5y1＝9y2.由方程组消去x，可得y1＝.易知直线AB的方程为x＋y－2＝0，由方程组消去x，可得y2＝.由5y1＝9y2，可得5(k＋1)＝3，两边平方，整理得56k2－50k＋11＝0，解得k＝或k＝.所以k的值为或.5．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m＞0)．(1)证明：k＜－；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP＋FA＋FB＝0.证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，并求该数列的公差．解：(1)证明:设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.两式相减，并由＝k得＋·k＝0.由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①由题设得0＜m＜，故k＜－.(2)由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)，则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m＜0.又点P在C上，所以m＝，从而P，|FP|＝，于是|FA|＝＝＝2－.2同理|FB|＝2－.所以|FA|＋|FB|＝4－(x1＋x2)＝3.故2|FP|＝|FA|＋|FB|，即|FA|，|FP|，|FB|成等差数列．设该数列的公差为d，则2|d|＝|FB|－|FA|＝|x1－x2|＝.②将m＝代入①得k＝－1，所以l的方程为y＝－x＋，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋＝0.故x1＋x2＝2，x1x2＝，代入②解得|d|＝.所以该数列的公差为或－.命题点二双曲线1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：选A e＝＝＝，∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a.∴渐近线方程为y＝±x.2．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为()A.B．2C.D.解析：选C法一：不妨设...
