高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.3.2 数学归纳法的应用训练 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学试题VIP免费

2.3.2数学归纳法的应用一、选择题1.若不等式＋＋＋…＋<对于一切n∈N＋恒成立，则自然数m的最小值为()A.8B.9C.10D.12解析显然n＝1时，左边最大为，则<，∴m的最小值为8，选A.答案A2.关于正整数n的不等式2n>n2成立的条件是()A.n∈N＋B.n≥4C.n>4D.n＝1或n>4解析n＝4，24＝42＝16，n＝1时，2>1，n＝5，25＝32，52＝25，∴当n>4时，2n>n2成立，故选D.答案D3.用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N＋)成立，当n＝1时，应验证()A.≤1＋≤B.≤1＋＋≤C.≤1＋＋＜D.＜1＋＜解析n＝1时，左边，中间1＋，右边＋1＝，故选A.答案A二、填空题4.用数学归纳法证明“Sn＝＋＋＋…＋>1(n∈N＋)”时，S1等于________.解析n＝1时，n＋1＝2，3n＋1＝4，∴S1＝＋＋.答案＋＋5.已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝＋＋，则T与0的关系是________.解析∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝0，即2ab＋2bc＋2ac＝－(a2＋b2＋c2)<0，∵abc>0，上述不等式两边同时除以2abc，得T＝＋＋<0.答案T<0三、解答题6.用数学归纳法证明：＋＋＋…＋>1(n>1，n∈N＋).证明(1)当n＝2时，＋＋＝＝>1，即n＝2时命题成立.(2)设n＝k(k≥2)时，命题成立，即＋＋＋…＋>1，当n＝k＋1时，左边＝＋…＋＋>1＋(2k＋1)·－＝1＋.∵k>2，令f(k)＝k2－k－1，对称轴为k＝，∴(2，＋∞)为f(k)的增区间，∴f(k)>f(2)，即k2－k－1>22－2－1＝1，∴>0，∴n＝k＋1时，命题也成立.由(1)(2)知，当n>1时，n∈N＋命题都成立.7.比较2n与n2的大小(n∈N).解当n＝1时，21>12，即2n>n2，1当n＝2时，22＝22，即2n＝n2，当n＝3时，23<32，即2n52，即2n>n2，当n＝6时，26>62，即2n>n2……猜测：当n≥5时，2n>n2.下面用数学归纳法证明猜测成立.(1)当n＝5时，由上可知猜测成立.(2)设n＝k(k≥5)时，命题成立，即2k>k2.∴2k＋1＝2·2k>2k2＝k2＋k2>k2＋(2k＋1)＝(k＋1)2，即n＝k＋1时命题成立.由(1)和(2)，可得n≥5时，2n>n2.8.用数学归纳法证明：＋＋…＋<(n∈N＋).证明(1)当n＝1时，左边＝<1＝右边，不等式成立.当n＝2时，左边＝＋＝，右边＝.由＋1<2，得<，即n＝2时，不等式也成立.(2)假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即＋＋…＋<.当n＝k＋1时，两边同加，得＋＋…＋<＋只须证＋<即可.由于－>⇔>⇔>＋⇔(－1)>.由于k≥2，上式显然成立.即n＝k＋1时，不等式成立.由(1)、(2)知，不等式对n∈N＋都成立.9.设n为正整数，记an＝，n＝1，2，3，…，求证：an＋10(n∈N＋).＝＝·＝·＝·＝·，因此，根据贝努利不等式>·>·＝·＝1.所以an>an＋1对于一切正整数n成立.10.已知等差数列{an}，等比数列{bn}，若a1＝b1，a2＝b2，a1≠a2，且对所有的自然数n恒有an>0，求证：当n>2时，an0，故{an}是递增数列，2{an}公差d＝a2－a1，{bn}公比q＝＝.当n>2时，an0.故原不等式成立.(2)假设n＝k(k≥3)时，不等式成立，即akak－ak－(a2－a1)＝>0.即bk＋1>ak＋1.由(1)(2)可知，当n>2时，an成立.(1)当n＝1时，a1＝2>成立.(2)假设n＝k(k≥1)时，ak>成立，又当n＝k＋1，由题意知ak＋1＝＋≥2＝，即ak＋1≥，当且仅当＝即ak＝时，等号成立.这与ak>矛盾，所以只有ak＋1>.由(1)，(2)知，不等式an>(n∈N＋)成立.其次，证明不等式an<＋(n∈N＋)成立.(1)当n＝1时，a1＝2<＋＝1＋，即不等式成立.(2)假设n＝k(k≥1)时，不等式ak<＋成立.由题知，当n＝k＋1时，ak＋1＝＋，由ak<＋，得<＋①由ak>，得<②由①，②得＋<＋＋＝＋，即ak＋1<＋＝＋<＋，即ak＋1<＋成立.由(1)，(2)得不等式an<＋(n∈N＋)成立.综上所述，