高中数学 第1章 导数及其应用 1.5.2 定积分互动课堂 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题VIP免费

高中数学第1章导数及其应用1.5.2定积分互动课堂苏教版选修2-2疏导引导本课时的重点和难点是对定积分概念的进一步理解和应用.1.定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的，它的解决过程充分体现了变量“由直到曲”“由近似到精确”“由有限到无限”的极限的思想方法，定积分是由实际问题中提出的，对定积分概念说明如下：(1)把闭区间［a，b］用n+1个分点(包括两个端点x0=a，xn=b)分成任意n个小区间并非要求一定分成n等份，只是在有的问题上，为了解题方便，才有n等分的方法去布列分点.(2)在每个小区间Δxi上点P的取法是任意的，它可以取在小区间的中点，即Pi=.也可以取在小区间的两个端点，即Pi=xi或Pi=xi-1还可以取在小区间的任何位置(i=1,2，…，n).(3)从几何意义上讲f(P1)Δxi(i=1，2，…，n)表示以Δxi为边，以f(P1)为高的第i个小矩形的面积，而不是第i个小曲边梯形的面积，和式f(Pi)Δxi表示n个小矩形的面积的和，而不是真正的曲边梯形的面积，不过，和式f(Pi)Δxi可以近似的表示曲边梯形的面积.一般来说，分法越细，近似程度也就越高.(4)总和f(Pi)Δxi取极限时的极限过程为“Δxi→0”(n→∞)当分割无限变细，即n→∞时，不一定能保证和式f(Pi)·Δxi的极限值就是曲边梯形的面积，只有在分点无限增多的同时，保证每个小区间的长度也无限地缩小，才是真正的曲边梯形的面积.(5)定积分是一个比较复杂的极限过程的极限值，定义f(x)dx=f(Pi)Δxi实际上给出了定积分f(x)dx的计算方法，在实际问题中，由于它太繁锁，故很少使用.2.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即f(x)dx=f(u)du=f(t)dt=……(称为积分形式的不变性)，另外定积分f(x)dx与积分式间［a，b］息息相关，不同的积分区间，定积分的积分限不同，所得值不同，例如(x2+1)dx与(x2+1)dx的值就不同.3.了解定积分的几何意义为了求曲边梯形的面积,我们引入了这样一种“和式的极限”，即引入了定积分的概念.同时,曲边梯形的面积给出定积分这一抽象概念的一种几何直观表示.设函数f(x)在区间［a,b］上连续.1在［a,b］上,当f(x)≥0时,定积分f(x)dx在几何上表示由曲线y=f(x)以及直线x=a,x=b与x轴围成的曲边梯形的面积.在［a,b］上,当f(x)≤0时,由曲线y=f(x)及直线x=a、x=b与x轴围成的曲边梯形位于x轴下方〔对应f(ξi)≤0〕,定积分f(x)dx在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;在［a,b］上当f(x)既取正值又取得负值时,曲线y=f(x)的某些部分在x轴上方,而其他部分在x轴下方.如果我们将面积赋予正、负号,在x轴上方的图形的面积赋予正号,在x轴下方的图形的面积赋予负号,那么在一般情形下,定积分f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x),两条直线x=a、x=b与x轴所围成的各部分面积的代数和.4.①定积分的性质其含义有两层,如性质(2).若定积分f(x)dx、g(x)dx存在,则定积分(f(x)±g(x))dx存在且(f(x)±g(x))dx=f(x)dx±g(x)dx.②定积分性质(2)可推广到任意有限个函数的情况.活学巧用1.利用定积分的定义，计算xdx的值.解析：(1)分割：在区间［0，1］上等间隔地插入n-1个分点，把区间［0，1］等分成n个小区间[,](i=1,2,…,n),每个小区间的长度为Δx=xi-xi-1=-=.(2)近似代替、求和：取ξi=(i=1,2,…,n),则xdx≈Sn=f()·Δx=·=i=·.(3)取极限：xdx=Sn==.2.证明［f(x)+g(x)］dx=f(x)dx+g(x)dx.证明:［f(x)+g(x)］dx=［f(ξi)+g(ξi)］2=［f(ξi)+g(ξi)］=f(ξi)+g(ξi)=f(x)dx+g(x)dx.3.利用积分的几何意义计算：解析：由积分的几何意义知等于以(0，0)点为圆心，r=2的圆的第一象限部分，所以=×π×22=π，即：=π4.如图，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及由y=0所围成的图形面积等于______________A.f(x)dxB.f(x)dx+f(x)dxC.f(x)dx-f(x)dxD.f(x)dx-f(x)dx解析：S=(0-f(x))dx+f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx答案：D5.计算椭圆=1所围成的平面图形的面积A.解析：根据对称性，总面积等于第一象限部分面积的4倍.则有面积元素dA=ydx,于是A=4ydx.现在已知上半椭圆的方程为y=，所以A=4==πab.当b=a时，A=πa2是半径a的圆的面积.如果椭圆是由参数方程x=acost，y=bsint给出的，对应于第一象限部分：当x=0时，t=;当x=a时，t=0,且dx=-asintdt，则3A=4ydx=-4absin2tdt=4absin2tdt=4ab××=πab.4