高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 距离问题练习 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP免费

1.2应用举例第1课时距离问题A级基础巩固一、选择题1．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改成10°，则斜坡长为()A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°解析：原来的斜坡、覆盖的地平线及新的斜坡构成等腰三角形，这个等腰三角形的底边长就是所求．答案：C2．在△ABC中，若C＝90°，a＝6，c＝10，则AB边上的高等于()A.B.C.D.解析：如图所示，Rt△ABC中，b＝＝8，AB边上的高h＝＝.故选D.答案：D3．等腰三角形一腰上的高是，底边长为2，则这条高与底边的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：如下图所示，等腰三角形ABC的腰AB上的高CH＝，而底边BC＝2，所以cos∠BCH＝＝，因为0°＜∠HCB＜90°，所以∠HCB＝60°.故选C.答案：C4．设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在河岸边选定一点C，测出AC的距离是100m，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，则A、B两点的距离为()A．40mB．50mC．60mD．70m解析：如下图所示，△ABC是Rt△，AB＝AC，所以AB＝50m.答案：B15．两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于2km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为()A．2kmB．3kmC．4kmD．5km解析：如下图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC＝2，在△ABC中由勾股定理得：AB＝＝＝4.答案：C二、填空题6．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________．解析：如下图所示，因为AC＝BC，所以∠CAB＝∠CBA.又∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，所以∠CAB＝∠CBA＝50°.故A在B的北偏西10°的方向．答案：北偏西10°7．已知A，B，C三地，其中A，C两地被一个湖隔开，测得AB＝3km，B＝45°，C＝30°，则A、C两地的距离为________．解析：根据题意，由正弦定理可得＝，代入数值得＝，解得AC＝3.答案：38．在△ABC中，若b＝2，B＝30°，C＝135°，则a＝________．解析：因为B＝30°，C＝135°，所以A＝180°－30°－135°＝15°.由正弦定理，＝得：a＝＝＝4sin15°.又sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝－，所以a＝－.答案：－三、解答题9．某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船的方位角为45°，在与之相距10海里的C处，还测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9海里的速度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以每小时21海里的速度前往营救，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间．2解：设所需时间为t小时，在点B处相遇．在△ABC中，AC＝10，AB＝21t，BC＝9t.∠ACB＝360°－135°－105°＝120°.由余弦定理：(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9t×cos120°，整理得：36t2－9t－10＝0，解得：t1＝，t2＝－(舍去)，由正弦定理得：＝⇒sin∠CAB＝＝，所以∠CAB＝21°47′.综上：该海上救生艇的航向为北偏东66°47′，与呼救船相遇所需时间为小时．10．如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1°)?解：如图，连接BC，由余弦定理得：BC2＝202＋102－2×20×10cos120°＝700.于是，BC＝10.因为＝，所以sin∠ACB＝，因为∠ACB＜90°，所以∠ACB＝41°.所以乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援．B级能力提升1．如图所示，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A—C—B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走(结果精确到0.1km；参考数据；≈1.41，≈1.73)()3A．3.4kmB．2.3kmC．5kmD．3.2km解析：过点C作CD⊥AB，垂足为D.在Rt△CAD中，∠A＝30°，AC＝10km，CD＝AC＝5(km)，AD＝AC·cos30°＝5(km)．在Rt△BCD中，∠B＝45°，BD＝CD＝5(km)，BC＝＝5(km)．AB＝AD＋BD＝(5＋5)(km)，AC＋BC－AB＝10＋5＝(5＋5)＝5＋5－5≈5＋5×1.41－5×1.73≈3.4(km)．答案：A2．一船以每小时15km的速度向东...