第17讲函数的零点问题A级——高考保分练1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为________．解析：当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.答案：02．(2019·南通一中模拟)已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为______．解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.答案：－3．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和为________．解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.答案：04．若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是________．解析：由x2－ax＋1＝0得a＝x＋，其中x∈. 函数y＝x＋在上为减函数，在(1,3)上为增函数，∴ymin＝2，ymax＝，∴a∈.答案：5．函数f(x)＝ex＋x－2的零点有________个．解析： f(x)在R上单调递增，又f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－>0，∴函数f(x)有且只有1个零点．答案：16．(2019·常州一中检测)已知函数f(x)＝－log4x的零点为x0，若x0∈(k，k＋1)，其中k为整数，则k的值为________．解析：因为f(2)＝1－log42＝>0，f(3)＝－log43＝log4<0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以k＝2.答案：27．(2019·连云港调研)已知函数f(x)＝－x＋b有一个零点，则实数b的取值范围为________．解析：由已知，函数f(x)＝－x＋b有一个零点，即函数y＝x－b和y＝的图象有1个交点，如图，其中与半圆相切的直线方程为y＝x＋2，过点(0，)的直线方程为y＝x＋，所以满足条件的b的取值范围是b＝－2或－0，得函数f(x)的单调递增区间为(－2,0)，由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x<－1时，f(x)<0，f(0)＝1.由以上分析，可作出分段函数f(x)的图象如图所示．要使函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，即f(x)＝b有三个不同的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个不同的公共点，结合图象可知，实数b的取值范围是(0,1]．答案：(0,1]11．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.(1)写出函数y＝f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围．解：(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝x2＋2x.又因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.所以f(x)＝(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1＜a＜1，故实数a的取值范围为(－1,1)．12．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围．解：(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，只需即解得＜a＜.故实数a的取值范围为.B级——难点突破练1．已知x∈R，符号[x]表示不超过x...
