高中数学 课时跟踪检测（十）空间向量与垂直关系 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪检测（十）空间向量与垂直关系一、基本能力达标1．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1,1)B.C.D.解析：选B若点P在平面α内，则PA⊥α，即PA·n＝0.对于选项A，PA＝(1,0,1)，则PA·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，PA＝，则PA·n＝·(3,1,2)＝0，故B正确；同理可排除C、D.2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面π的法向量为n＝(－3,0，－6)，则()A．l∥πB．l⊥πC．lπD．l与π斜交解析：选Ba＝－n，∴a∥n，∴l⊥π.3．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD等于()A．1∶2B．1∶1C．3∶1D．2∶1解析：选B建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA＝a.则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)．设点F的坐标为(0，y,0)，则BF＝(－1，y,0)，PE＝. BF⊥PE，∴BF·PE＝0，解得y＝，则F点坐标为，∴F为AD中点，∴AF∶FD＝1∶1.4．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则向量BP＝()A.B.C.D.解析：选AAB·BC＝3＋5－2z＝0，故z＝4，由BP·AB＝x－1＋5y＋6＝0，且BP·BC＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝，y＝－.BP＝.5．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是_______(填序号)．解析：由于AP·AB＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，AP·AD＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确．答案：①②③16．在直角坐标系O－xyz中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．解析：由OP⊥OQ，得OP·OQ＝0.即(2cosx＋1)·cosx＋(2cos2x＋2)·(－1)＝0.∴cosx＝0或cosx＝. x∈[0，π]，∴x＝或x＝.答案：或7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.(1)证明：PA∥平面EDB；(2)证明：PB⊥平面EFD.证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设DC＝a.(1)连接AC，AC交BD于G，连接EG.依题意得A(a,0,0)，P(0，0，a)，E. 底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心．故点G的坐标为，且PA＝，EG＝.∴PA＝2EG，则PA∥EG.又EG平面EDB且PA⃘平面EDB.∴PA∥平面EDB.(2)依题意得B(a，a,0)，PB＝(a，a，－a)，DE＝，故PB·DE＝0＋－＝0.∴PB⊥DE，又EF⊥PB，且EF∩DE＝E，∴PB⊥平面EFD.8.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点．求证：(1)平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)C1F∥平面ABE.解：如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝a，AB＝b，BB1＝c，则B(0,0,0)，A(0，b,0)，C1(a,0，c)，F，E.(1)AB＝(0，－b,0)，AE＝.设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即2令x＝2，则y＝0，z＝－，即n＝.又平面B1BCC1的一个法向量为n1＝(0,1,0)． n1·n＝2×0＋0×1＋×0＝0，∴平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)C1F＝，且n·C1F＝0，∴C1F∥平面ABE.又 C1F⊄平面ABE，∴C1F∥平面ABE.二、综合能力提升1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A解析：选B建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，∴CE＝，AC＝(－1,1,0)，BD＝(－1，－1,0)，A1D＝(－1,0，－1)，A1A＝(0,0，－1)． CE·BD＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，∴CE⊥BD.2.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0,0,3a)，C(0，a,0)，D.设E(a,0，z)(0≤z≤3a)，则CE＝，B1E＝(a,0，z－3a)，B1D＝.又CE·B1D＝a2－a2＋0＝0，故由题意得2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a.故AE＝a或2a.答案：a或2a3.如图，...