3.2.2平面的法向量与平面的向量表示(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝()A．4B．－4C．5D．－5【解析】 α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.【答案】D2．已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是()A．(4,2，－2)B．(2,0,4)C．(2，－1，－5)D．(4，－2,2)【解析】 α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又 (4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故应选D.【答案】D3．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，－，4B．，－，4C.，－2,4D．4，，－15【解析】 AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，则解得【答案】B4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1,1)B．C.D．【解析】对于B，AP＝，则n·AP＝(3,1,2)·＝0，∴n⊥AP，则点P在平面α内．【答案】B5．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件AM·n＝0的点M构成的图形是()A．圆B．直线C．平面D．线段【解析】M构成的图形经过点A，且是以n为法向量的平面．【答案】C二、填空题6．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.1【解析】由题意知u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9.【答案】－97．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝________.【解析】由题意，知解得x＝－64，y＝－26，z＝－17.【答案】(－64，－26，－17)8．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.【导学号：15460076】【解析】因为AB＝，AC＝，又因为a·AB＝0，a·AC＝0，所以解得所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．【答案】2∶3∶(－4)三、解答题9.如图3219，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.图3219【证明】以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M.所以AM＝，DF＝(0,，1)，BD＝(，－，0)．设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，则n⊥BD，n⊥DF，所以⇒取y＝1，得x＝1，z＝－.则n＝(1,1，－)．因为AM＝.所以n＝－AM，得n与AM共线．2所以AM⊥平面BDF.10．底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.【证明】法一设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E.连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为.因为AS＝(0,0,1)，OE＝，所以OE＝AS.所以OE∥AS.又因为AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.法二设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)，因为BD＝(－1,1,0)，BE＝，所以即令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0)．因为AS⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为n2＝AS＝(0,0,1)．因为n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD.[能力提升]1．如图3220，在正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是()图3220A．(1，－2,4)B．(－4,1，－2)C．(2，－2,1)D．(1,2，－2)【解析】设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，3则A(1,0,0)，E，F.故AE＝，AF＝.所以即所以当z＝－2时，n＝(－4,1，－2)，故选B.【答案】B2．如图3221，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是()图3221A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BDB．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BDC．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BDD．不存在DQ与平面A1BD垂直【解...
