高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式同步训练 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

3.2均值不等式5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.对于任意实数a、b，下列不等式一定成立的是()A.a+b≥ab2B.2ba≥abC.a2+b2≥2abD.baab≥2解析：均值不等式要考虑正负情况，这里如果a、b不能保证是正值A、B、D都不一定成立，只有C对任意实数恒成立．也可以采用特殊值代入检验进行排除．答案：C2.已知点P(x,y)在直线x+3y-2=0上，那么代数式3x+27y的最小值是_____________.解析：根据条件可知x+3y=2,而3x+27y=3x+33y≥233232yx=6,当且仅当3x=33y时取等号.答案：63.函数f（x）=x+x4+3在（-∞，-2］上()A.无最大值，有最小值7B.无最大值，有最小值-1C.有最大值7，有最小值-1D.有最大值-1，无最小值解析： x≤-2，∴f（x）=x+x4+3=-［（-x）+（x4）］+3≤)4)((2xx+3=-1，当且仅当-x=x4，即x=-2时取等号.∴f（x）有最大值-1，无最小值，故选D.此外，该题也可利用函数f（x）=x+x4+3在（-∞，-2］上的单调性求解.答案：D4.若x＞3,那么当x=_____________时,y=31xx取最小值_____________.解析：y=x+31x=x-3+31x+3≥31)3(2xx+3=5,当且仅当x-3=31x即x=4时,y取最小值5.答案：4510分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知a、b∈R，且a2+b2=4，那么ab()A.最大值为2，最小值为-2B.最大值为2，但无最小值C.最小值为2，但无最大值D.最大值为2，最小值为0解析：这里没有限制a、b的正负,则由a2+b2≥2|ab|即|ab|≤2,所以,-2≤ab≤2,可知最大值为2，最小值为-2.答案：A12.设f（x）=（21）x，a、b∈R+，A=f（2ba），G=f（ab），H=f（baab2），K=f（222ba），则A、G、H、K的大小关系是()A.H≤G≤A≤KB.A≤K≤H≤GC.A≤K≤G≤HD.K≤A≤G≤H解析：首先由已知条件可知f（x）在定义域内是单调递减函数,然后只需取特殊值a=1,b=2代入判断2,2,,222babaababba的大小即可.答案：D3.已知x=21aa（a＞2），y=22)21(b（b＜0），则x、y之间的大小关系是()A.x＞yB.x＜yC.x=yD.不能确定解析：x=（a-2）+21a+2≥21)2(2aa+2=4（当且仅当a=3时，取“=”），y=22)21()21(2b=4.∴x＞y.答案：A4.三个同学对问题“关于x的不等式x2+25＋|x3-5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值.”丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象.”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是______________.解析：由x2+25+|x3-5x2|≥ax,1≤x≤12a≤x+x25+|x2-5x|，而x+x25≤xx252=10，等号当且仅当x=5∈［1,12］时成立；且|x2-5x|≥0，等号当且仅当x=5∈［1，12］时成立；所以，a≤［x+x25+|x2-5x|］min=10，等号当且仅当x=5∈［1,12］时成立；故a∈(-∞,10］.答案：a∈(-∞,10］5.已知x、y∈R+，且yx91=1，求x+y的最小值.解: x＞0，y＞0，yx91=1，∴x+y=（yx91）（x+y）=yxxyyxxy92109+10=6+10=16，2当且仅当yxxy9，又yx91=1即12,4yx时等号成立.6.已知a＞0,b＞0,且a+2b=10,求y=322ba的最大值.解法一:由于a＞0,b＞0,且a+2b=10,则有y=322ba≤30)52(2])32()2[(222baba.当且仅当a+2=2b+3=215时,即a=211,b=49时,等号成立.所以y=322ba的最大值为30.解法二:由于a＞0,b＞0,且a+2b=10,则有y2=(a+2)+(2b+3)+)32)(2(215)32)(2(2baba≤15+［(a+2)+(2b+3)］=30.当且仅当a+2=2b+3=215时,即a=211,b=49时,等号成立.又y＞0,所以,y≤30.所以y=322ba的最大值为30.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列求最值过程中正确的是()A.若0＜x＜π，则y=sinx+22sin2sin2sin2xxx.所以y的最小值是22B.若0＜x＜π，则y=sinx+2222)sin2sin(sin22xxx.所以y的最小值是22C.若x＞0，则y=2+x+x4≥2+xx42=6.所以y的最小值是6D.若0＜x＜1，则y=x（4-x）≤［2)4(xx］2=4.所以y的最大值为4解析：A、B、D中等号都取不到.A中需满足sinx=xsin2，即sinx=2（0，1］；B中由xxsin2sin得sinx=2（0，1］；D中由x...