第一节平面向量的概念及线性运算第一节平面向量的概念及线性运算考点串串讲1．对向量的正确理解(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小．(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同．向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上；而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上．(3)零向量的方向是任意的，并规定零向量与任一向量平行．(4)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上．2．向量的加法(1)向量的加法定义已知向量a、b，在平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，则向量AC→叫作a与b的和，记作a＋b.如图所示．求两个向量和的运算叫作向量的加法．对于零向量与任意向量a有0＋a＝a＋0＝a.说明①两个向量的和仍然是向量．②可借助物理学中力的合成、位移等知识来理解向量的加法．(2)向量加法的三角形法则根据向量的定义求向量的和的方法，叫向量加法的三角形法则．说明①“首尾相连”具体是指：后一个向量的起点与前一个向量的终点重合，则第一个向量的起点指向第二个向量的终点的有向线段表示它们的和向量，也可适用于多个向量的加法运算．②当a与b不共线时，a＋b的方向与a、b的方向都不相同，且有|a＋b|＜|a|＋|b|.③当a与b共线时，即a与b同向、反向或其中至少一个为零向量时：1°当a、b有一个为零向量时，则有a＋b的方向和大小与另一个向量相同．2°当a、b为非零向量且方向相反时，若|a|＜|b|，则a＋b的方向与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|，如图所示．3°当a、b为非零向量且方向相同时，a＋b的方向与a(或b)的方向相同且|a＋b|＝|a|＋|b|，如图所示．(3)向量加法的平行四边形法则以同一点A为起点的两个已知向量a、b所对应的AB→、AD→为邻边作▱ABCD，则以A为起点的对角线AC→就是a、b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则，如图所示．说明①由向量的加法定义，对于两向量共线可用三角形法则，但对于平行四边形法则就不适用．②对于一些实际问题，平行四边形法则较三角形法则更具优越性．(4)向量加法的运算律向量加法满足交换律、结合律：①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)3．向量的减法(1)相反向量与a长度相同，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a，零向量的相反向量仍是零向量．说明①－(－a)＝a.②a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.③若a，b互为相反向量，则a＋b＝0，a＝－b，b＝－a.(2)向量的减法a与b的相反向量的和，叫作a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算，叫作向量的减法．说明向量减法的实质是向量加法的逆运算．(3)向量减法的几何作法在平面上任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝a－b，如图所示．a－b表示从b的终点出发指向a的终点的向量．说明①以上作法称为三角形法则，作向量减法运算可归纳为：“平移共起点，连结两终点，方向指被减”．②平行四边形法则也可作向量的减法，即以AB→＝a，AD→＝b为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量BD→＝b－a，DB→＝a－b，如图所示，这一结论在向量的运用中非常广泛．③当a、b为不共线向量时，有|a－b|＞|a|－|b|；当a、b为同向共线向量时，有|a－b|＝|a|－|b|；当a、b为异向共线向量时，有|a－b|＝|a|＋|b|.4．实数与向量积的概念实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.说明①实数与向量的积定义的理解：λa可以认为是把向量a的长度扩大(当|λ|＞1时)，也可以缩小(当|λ|＜1时)，同时，不改变a的方向(当λ＞0时)，也可以变为原来的相反方向(当λ＜0时)．②特殊情况：当λ＝0时，λa＝0，当λ≠0时，若a＝0也有λa＝0.③实数与向量可以求积，但不可以进行加、减运算．5．实数与向量的积满足的运算律设λ，ω为实数，则有：(1)λ(ω)a＝(λ...
