3.2.3基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）基础练习1．函数y＝(x－2)2在x＝1处的导数等于()A．－1B．－2C．－3D．－4【答案】B2．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0的值为()A．e2B．eC．D．ln2【答案】B3．(2019年广东深圳期末)已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为()A．1B．－1C．D．－【答案】A4．若过点(2,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋7x－4都相切，则a的值为()A．2B．C．2或－D．3或【答案】C5．(2017年天津)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．【答案】1【解析】由题可得f(1)＝a，则切点为(1，a)，因为f′(x)＝a－，所以切线l的斜率为f′(1)＝a－1，切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0可得y＝1.故l在y轴上的截距为1.6．已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)的导函数为f′(x)且f′(0)＝4，则a2＋2b2的最小值为________．【答案】8【解析】∵f(x)＝(x2－ax)(x－b)，∴f′(x)＝(2x－a)(x－b)＋x2－ax＝3x2－2(a＋b)x＋ab，则f′(0)＝ab＝4.又a2＋2b2≥2＝2ab＝8，当且仅当a2＝2b2，即a＝b时取等号．7．求下列函数的导数．(1)f(x)＝xsinx；(2)f(x)＝log2x－x2.解：(1)f′(x)＝sinx＋xcosx.(2)f′(x)＝－2x.8．求下列函数的导数．(1)y＝；(2)y＝.解：(1)y＝3x－x＋5－9x－，y′＝3(x)′－x′＋5′－9(x－)′＝x－1＋x－.(2)y＝x2＋x－＋x－2cosx，1y′＝2x－x－＋(x－2)′cosx＋x－2(cosx)′＝2x－x－－2x－3cosx－x－2sinx．能力提升9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值为()A．2B．－2C．D．－【答案】D【解析】根据题意，知f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，∴f′(2)＝4＋3f′(2)＋.解得f′(2)＝－.故选D．10．已知函数f(x)＝lnx＋tanα的导函数为f′(x)，若存在x0∈(0,1)使得f′(x0)＝f(x0)成立，则实数α的取值范围为()A．B．C．D．【答案】A【解析】∵f′(x)＝，f′(x0)＝，f′(x0)＝f(x0)，∴＝lnx0＋tanα.∴tanα＝－lnx0.又0＜x0＜1，∴－lnx0＞1.∴tanα＞1，则α∈.故选A．11．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线．令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.【答案】0【解析】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)．由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.12．设函数f(x)＝(ax＋b)ex，g(x)＝－x2＋cx＋d.若函数f(x)和g(x)的图象都过点P(0,1)且在点P处有相同的切线y＝2x＋1，求a，b，c，d的值．解：f′(x)＝aex＋(ax＋b)ex＝(ax＋a＋b)ex，∴∴a＝b＝1.g′(x)＝－2x＋c，∴∴c＝2，d＝1.23
