高中数学 第三章 不等式 专题3.4 基本不等式试题 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

3.4基本不等式1．重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，bR)一般地，对于任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当______________时，等号成立．2．基本不等式如果a＞0，b＞0，那么，当且仅当______________时，等号成立．其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．因此基本不等式也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．基本不等式的证明（1）代数法：方法一因为a＞0，b＞0，所以我们可以用，分别代替重要不等式中的a，b，得，当且仅当时，等号成立．即(a＞0，b＞0)，当且仅当a＝b时，等号成立．方法二因为，所以，即，所以．方法三要证，只要证，即证，即证，显然总是成立的，当且仅当a＝b时，等号成立．（2）几何法：如图，AB是圆的直径，C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD．易证，则CD2＝CA·CB，即CD＝______________．1这个圆的半径为，显然它大于或等于CD，即，当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立．由此我们可得的几何意义：半径不小于半弦．4．重要不等式和均值不等式的常用变形公式及推广公式（1）(a，b同号)；(a，b异号)．（2）(a＞0)；(a＜0)．（3）(a＞0，b＞0)；(a＞0，b＞0)．（4），，4ab≤a2＋b2＋2ab，2(a2＋b2)≥(a＋b)2．（5）．（6）为正实数，且．5．均值不等式链若a＞0，b＞0，则，当且仅当a＝b时，等号成立．2其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数．6．最值定理已知x＞0，y＞0，则若x＋y为定值s，则当且仅当x＝y时，积xy有最大值(简记：和定积最大)；若xy为定值t，则当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值(简记：积定和最小)．K知识参考答案：1．a＝b2．a＝b3．K—重点重要不等式，基本不等式的公式、证明、几何解释、变形及推广K—难点均值不等式链的应用、利用基本不等式求最值、不等式的证明K—易错忽略等号成立的条件、等号成立的一致性导致错误利用基本不等式判断不等式是否成立要判断不等式是否成立，关键是把握其运用基本不等式时能否严格遵循“一正、二定、三相等”这三个条件．（1）设f(x)＝lnx，0＜a＜b，若p＝f()，q＝，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是A．q＝r＜pB．p＝r＜qC．q＝r＞pD．p＝r＞q（2）给出下列不等式：①；②；③；④3；⑤若0＜a＜1＜b，则logab＋logba≤－2．其中正确的是______________．【答案】（1）B；（2）②⑤．方法2：(特值法)令a＝1，b＝2，则p＝f()＝ln，q＝＝ln，r＝(ln1＋ln2)＝ln．因为＜，所以ln＜ln，所以p＝r＜q，故选B．（2）当x＞0时，，当x＜0时，，所以，故①不正确，②正确；由于x＞0，所以，当且仅当，即时取等号，故③不正确；当时，，时，，故④不正确；当0＜a＜1＜b时，，，故logab＋logba≤－2，⑤正确．综上，②⑤正确．【名师点睛】基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等．一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换（利用基本不等式可将整式和根式相互转化），使其中的不等关系明晰即可解决问题．4利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的一般思路：先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有其他条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．（1）已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：；（2）已知a＞b，ab＝2，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为a＞0，b＞0，c＞0，所以利用基本不等式可得，，，所以，即，当且仅当a＝b＝c时等号成立．【名师点睛】对于（1），合理地构造并正确选用基本不等式或其变形式，是证明轮换对称结构的不等式（用b换a，a换c，c换b后，代数式不变的式子叫轮换对称式，其特征是a，b，c的地位一样）的常用思路；对于（2），观察a－b，a2＋b2，可联想到通过加减2ab的方法配凑出(a－b)2，从而化为可使用基本不等式的形式，结合ab＝2可使问题得到解决．5利用基本不等式求最值（1）直接应用类：此类问题较为基础，注意“一正、二...