2.1.1简单形式的柯西不等式一、选择题1.下列说法：①二维形式的柯西不等式中a，b，c，d没有取值限制.②二维形式的柯西不等式中a，b，c，d只能取数，不能为代数式.③柯西不等式的向量式中取等号的条件是α＝β.其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.0个解析由柯西不等式的概念知，只①正确，a，b，c，d是实数，没有其取值限制.答案A2.函数y＝＋的最小值是()A.20B.25C.27D.18解析y＝＋＝[2x＋(1－2x)]＝[()2＋()2]≥＝(2＋3)2＝25.答案B3.设a、b∈(0，＋∞)，且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，则()A.P>QB.P≥QC.P0，b>0，∴a＋b>0.∴≥＝a＋b.又∵a≠b，而等号成立的条件是·＝·，即a＝b，∴＋>a＋b.即P>Q.答案A二、填空题4.设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值是________.解析∵(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥＝18.∴＋＋≥2.答案25.若a2＋b2＋c2＝2，x2＋y2＋z2＝4，则ax＋by＋cz的取值范围是__________.解析∵(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2，∴(ax＋by＋cz)2≤8，∴－2≤ax＋by＋cz≤2.答案[－2，2]6.设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________.解析运用柯西不等式求解.根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.答案三、解答题7.若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值，并求出最小值点.1解由柯西不等式(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1，∴4x2＋9y2≥.当且仅当2x·1＝3y·1，即2x＝3y时取等号.由得∴4x2＋9y2的最小值为，最小值点为.8.设a，b∈(0，＋∞)，若a＋b＝2，求＋的最小值.解∵(a＋b)＝[()2＋()2]≥＝(1＋1)2＝4.∴2≥4，即＋≥2.当且仅当·＝·，即a＝b时取等号，∴当a＝b＝1时，＋的最小值为2.9.已知a2＋b2＝1，a，b∈R，求证：|acosθ＋bsinθ|≤1.证明∵(acosθ＋bsinθ)2≤(a2＋b2)(cos2θ＋sin2θ)＝1·1＝1，∴|acosθ＋bsinθ|≤1.2
