2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质第2课时双曲线方程与性质的应用课后演练提升北师大版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为()A．6B．12C．12D．24解析：由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2c＝2.由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝0.∴三角形为直角三角形．∴S△PF1F2＝×6×4＝12.答案：B2．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为()A．x2－y2＝1B．x2－y2＝2或x2－y2＝－2C．x2－y2＝D．x2－y2＝或x2－y2＝－解析：由题意，设双曲线方程为－＝1(a＞0)，则c＝a，渐近线为y＝x，∴＝，∴a2＝2.∴双曲线方程为x2－y2＝2.若焦点在y轴上，双曲线方程为x2－y2＝－2.答案：B3．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两渐近线含实轴的夹角为θ，离心率e∈[，2]，则θ的取值范围是()A.B．C.D．解析：由e2＝＝1＋∈[2,4]，可得1≤≤，故两渐近线含实轴的夹角范围为.答案：C4．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若AB＝BC，则双曲线的离心率是()A.B．C.D．解析：对于A(a,0)，则直线方程为x＋y－a＝0，直线与两渐近线的交点为B、C，B，C，则有BC＝，AB＝，∵2AB＝BC，∴4a2＝b2，∴e＝.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且PF1·PF2＝0，则|PF1|·|PF2|＝________.1解析：∵PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2.又||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝20－2|PF1|·|PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝2.答案：26．已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l与双曲线有唯一的交点，则直线l的斜率等于________．解析：要使过右焦点F的直线l与双曲线有唯一的交点，则直线l应平行于双曲线的渐近线，又双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故直线l的斜率为±1.答案：±1三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知双曲线与椭圆＋＝1共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程．解析：由于椭圆焦点为F(0，±4)，离心率为e＝，所以双曲线的焦点为F(0，±4)，离心率为2，从而c＝4，a＝2，b＝2，所以所求双曲线方程为－＝1.8．已知双曲线中心在原点，以坐标轴为对称轴，并且与圆x2＋y2＝17相交于A(4，－1)，若圆在点A的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的方程．解析：∵圆x2＋y2＝17在点(4，－1)处的切线方程为4x－y＝17，∴双曲线的渐近线为y＝4x，(1)当双曲线的焦点在x轴上时，由解得：，∴双曲线方程为－＝1.(2)当双曲线的焦点在y轴上时，由无解．综上，双曲线方程为－＝1.☆☆☆9．(10分)设双曲线C：－y2＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.(1)求实数a的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，取PA＝PB，求a的值．解析：(1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1(a＞0)中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.依题意又a＞0，∴0＜a＜且a≠1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，因为PA＝PB，所以(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．由此得x1＝x2.由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0，所以x2＝－，x＝－.消去x2得－＝.由a＞0，解得a＝.2
