（新课标）高考数学一轮总复习 考点集训（三十五）第35讲 数列的综合应用 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

考点集训(三十五)第35讲数列的综合应用对应学生用书p238A组题1．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于()A．3B．2C．1D．－2[解析] 曲线的顶点是(1，2)，∴b＝1，c＝2，又 a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.[答案]B2．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是()A．33个B．65个C．66个D．129个[解析]设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{an}，则即＝2，∴数列{an－1}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an－1＝1×2n－1，an＝2n－1＋1，故6小时后细胞的存活数是a7＝27－1＋1＝65.[答案]B3．已知函数f(x)＝cosx(x∈)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m＝()A.B．－C.D．－[解析]由题意可知：x1＝，x2＝，且x3，x4只能分布在x1，x2的中间或两侧，若x3，x4分布在x1，x2的中间，则公差d＝＝，故x3，x4分别为、，此时可求得m＝cos＝－；若x3，x4分布在x1，x2的两侧，则公差d＝－＝π，故x3，x4分别为－、，不合题意．综上，m＝－.[答案]D4.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最大的一份为__________．[解析]设每人所得面包数构成等差数列{an}，公差d<0.由题意得即解得a1＝.[答案]5．设数列{an}中，a1＝2,an＋1＝，bn＝，n∈N*，则数列的通项公式为bn＝__________．[解析]因为＝＝＝＝2，所以数列为以b1＝＝4为首项，2为公比的等比数列，即bn＝4·2n－1＝2n＋1.[答案]2n＋16．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)记数列的前n项和为Tn，求证：Tn<4.[解析](1)因为Sn＝－n2＋kn＝－(n－k)2＋，又因为k∈N*，所以当n＝k时，(Sn)max＝Sk＝＝8，解得k＝4，这时Sn＝－n2＋4n；所以a1＝S1＝－×12＋4×1＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n＋，又a1＝S1＝也适合这个公式，所以an＝－n＋.(2)设bn＝＝，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋，①所以Tn＝＋＋＋…＋，②①－②得Tn＝1＋＋＋＋…＋－＝2－－＝2－，所以Tn＝4－<4.7．设正数列{an}的前n项和为Sn，且2＝an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列bn＝，设Tn为数列的前n项和，求Tn；(3)若Tn≤λbn＋1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．[解析](1) 正数列{an}的前n项和为Sn，且2＝an＋1，∴a1＝1，Sn＝Sn－1＋an＝Sn－1＋2－1，∴Sn－1＝(－1)2，∴－＝1，∴＝1＋n－1＝n，∴Sn＝n2，∴an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，当n＝1时，2n－1＝1＝a1，∴an＝2n－1.(2)bn＝＝＝n＋1，∴＝＝－，∴Tn＝－＋－＋…＋－＝－＝.(3) Tn≤λbn＋1对一切n∈N*恒成立，∴≤λ(n＋2)，∴λ≥＝×恒成立， ×≤×＝，当且仅当n＝2时取等号，故实数λ的最小值为.B组题1．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(2，2n＋1)处的切线与x轴交点的横坐标为an，则数列{(n＋1)an}的前n项和为()A．n2－1B．n2＋1C．n2－nD．n2＋n[解析]y＝xn＋1，则y′＝(n＋1)xn，所以曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(2，2n＋1)处的切线斜率为(n＋1)2n，则切线方程为y＝(n＋1)2n(x－2)＋2n＋1，即y＝(n＋1)2nx－n·2n＋1.令y＝0，可得x＝，所以an＝，则(n＋1)an＝2n，所以数列{(n＋1)an}是以2为首项，2为公差的等差数列，则其前n项和为×n＝n2＋n.[答案]D2．设等比数列{an}满足公比q∈N*，an∈N*，且{an}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a1＝281，则q的所有可能取值的集合为________．[解析]根据题意得对任意n1，n2∈N*有n∈N*，使an＝an1an2⇒281qn－1＝281qn1－1·281qn2－1，即q＝2，因为q∈N*，所以是正整数1、3、9、27、81，q的所有可能取值的集合为{2，23，29，227，281}．[答案]{2，23，29，227，281}3．已知数列的首项a1＝m，其前n项和为Sn，且满足Sn＋Sn＋1＝3n2＋2n，若对∀n∈N*，an