高中数学 第二章 数列章末复习课 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP免费

第二章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．2．求数列的通项(易错点)(1)数列前n项和Sn与通项an的关系：an＝(2)当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)．(3)当已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1···…·.(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法．3．等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列；＝q(q为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列．(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列；a＝an·an＋2(an≠0)⇔{an}是等比数列．(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝aqn－a(a，q为常数，且a≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数列．14．求数列的前n项和的基本方法(易错点)(1)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(2)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(3)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导．(4)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(5)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和Sn公式．专题一等差、等比数列的判断判定一个数列是等差或等比数列有如下多种方法：定义法an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列＝q(非零常数)⇔{an}是等比数列中项公式法2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列a＝anan＋2(an＋1anan＋2≠0)⇔{an}是等比数列通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列an＝cqn(c，q均为非零常数)⇔{an}是等比数列前n项和公式Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列Sn＝kqn－k(k为常数，且q≠0，k≠0，q≠1)⇔{an}是等比数列[例1]已知数列{an}、{bn}满足：a1＝1，a2＝a(a为常数)，且bn＝an·an＋1，其中n＝1，2，3，….(1)若{an}是等比数列，试求数列{bn}的前n项和Sn的公式．(2)当{bn}是等比数列时，甲同学说：{an}一定是等比数列；乙同学说：{an}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？解：(1)因为{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a，所以a≠0，an＝an－1.又bn＝an·an＋1，则b1＝a1·a2＝a，＝＝＝＝a2，即{bn}是以a为首项，a2为公比的等比数列．所以，Sn＝(2)甲、乙两个同学说法都不正确，理由如下：法一：设{bn}的公式比为q，则＝＝＝q且a≠0，又a1＝1，a2＝a，a1，a3，a5…，a2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列；a2，a4，a6，…，a2n，…是以a为首项，q为公比的等比数列．即{an}为：1，a，q，aq，q2，aq2，…，当q＝a2时，{an}是等比数列；当a≠a2时，{an}不是等比数列．法二：{an}可能是等比数列，也可能不是等比数列，举例说明如下：设{bn}的公式为q.①取a＝q＝1时，an＝1(n∈N*)，此时bn＝anan＋1＝1，{an}、{bn}都是等比数列．②取a＝2，q＝1时，2an＝bn＝2(n∈N*)．所以{bn}是等比数列，而{an}不是等比数列．归纳升华判断一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法：＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法：a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列．(3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列．[变式训练]已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝5Sn－3，求数列{an}的通项公式．解：当n＝1时，因为a1＝5a1－3，所以a1＝.当n≥2时，因为an＝5Sn－3，所以an－1＝5Sn－1－3，所以an－an－1＝5(Sn－Sn－1)．即an－an－1＝5an，＝－，所以{an}是首项a1＝，公比q＝－的等比数列．所以...