2.1.1椭圆及其标准方程[基础达标]1.椭圆2x2＋y2＝8的焦点坐标是()A．(±2，0)B．(0，±2)C．(±2，0)D．(0，±2)解析：选B.椭圆标准方程为＋＝1，∴椭圆焦点在y轴上，且c2＝8－4＝4，∴焦点坐标为(0，±2)．2.椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(3，0)，那么m的值为()A．－16B．－4C．16D．4解析：选C.焦点在x轴且c＝3，由25＝m＋9，∴m＝16.已知方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是()A．k<1或k>3B．11D．k<3解析：选B.由题意知k＋1>3－k>0，∴1|F1F2|＝2，∴动点P是以F1、F2为焦点的椭圆，且a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，轨迹方程为＋＝1.答案：＋＝17.已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________．解析：由于|AB|＋|F2A|＋|F2B|＝4a＝20，∴|AB|＝20－(|F2A|＋|F2B|)＝20－12＝8.答案：88.若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围是________．解析：由方程＋＝1表示椭圆，可得解得2|PF2|，求的值．(2)当∠F1PF2为钝角时，|PF2|的取值范围．解：(1) PF1⊥PF2，∴∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.∴解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴＝2.(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝6. ∠F1PF2为钝角，∴cos∠F1PF2<0.又 cos∠F1PF2＝<0，∴r＋r<20，∴r1r2>8，∴(6－r2)r2>8，∴2a>b的顶点A的轨迹．解：(1)如图，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，有|AM|＋|AC|＝2a，|BM|＋|BC|＝2a，两式相加，得8＋4＝4a，∴a＝2＋，|AM|＝2a－|AC|＝4＋2－4＝2.在直角三角形AMC中， |MC|2＝|AM|2＋|AC|2＝8＋16＝24，∴c2＝6，b2＝4.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由已知条件可得b＋c＝2a，则|AC|＋|AB|＝2|BC|＝4>|BC|，结合椭圆的定义知点A在以B，C为焦点的一个椭圆上，且椭圆的焦距为2.以BC所在的直线为x轴，BC的中点为原点O，建立平面直角坐标系，如图所示．设顶点A所在的椭圆方程为＋＝1(m>n>0)，则m＝2，n2＝22－12＝3，从而椭圆方程为＋＝1.又c>a>b且A是△ABC的顶点，结合图形，易知x>0，y≠0.故顶点A的轨迹是椭圆＋＝1的右半部分(x>0，y≠0)．[能力提升]1.设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP＝2PA，且OQ·AB＝1，则P点的轨迹方程是()A.x2＋3y2＝1(x>0，y>0)B.x2－3y2＝1(x>0，y>0)C．3x2－y2＝1(x>0，y>0)D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)解析：选A.由题意Q坐标为(－x，y)(x>0，y>0)，设A(x0，0)，B(0，y0)，由BP＝2PA得(x，y－y0)＝2(x0－x，－y)，∴，即.由OQ·AB＝1得(－x，y)·(－x0，y0)＝1，∴x0x＋y0y＝1，把代入上述得x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．2.设α∈(0，)，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析：方程x2sinα＋y2cosα＝1可化为＋＝1. 椭圆的焦点在y轴上，∴>>0.又 α∈(0，)，∴sinα>cosα>0，∴<α<.答案：(，)3.已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点．(1)若∠F1PF2＝，求△...
