第二章数列能力检测满分150分．考试时间120分钟．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019年山西太原期末)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是()A．an＝B．an＝C．an＝n2－(n－1)D．an＝n2－1【答案】A【解析】观察数列1,3,6,10，…，可以发现1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3,10＝1＋2＋3＋4，…，第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝.∴an＝.故选A．2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足－＝1，则数列{an}的公差d是()A．－2B．－1C．1D．2【答案】D【解析】由－＝1得－＝a1＋d－＝＝1，∴d＝2.3．已知3，a＋2，b＋4成等比数列，1，a＋1，b＋1成等差数列，则等差数列的公差为()A．4或－2B．－4或2C．4D．－4【答案】C【解析】 3，a＋2，b＋4成等比数列，1，a＋1，b＋1成等差数列，∴(a＋2)2＝3(b＋4)，2(a＋1)＝1＋b＋1，联立解得或当时，a＋2＝0，与3，a＋2，b＋4成等比数列矛盾，应舍去；当时，等差数列的公差为(a＋1)－1＝a＝4.故选C．4．已知等差数列{an}的公差d＜0，若a4·a6＝24，a2＋a8＝10，则该数列的前n项和Sn的最大值为()A．50B．40C．45D．35【答案】C【解析】 a4＋a6＝a2＋a8＝10，a4·a6＝24，d＜0，∴∴d＝＝－1，∴an＝a4＋(n－4)d＝10－n.∴当n＝9或10时Sn取到最大值，S9＝S10＝45.5．公差不为0的等差数列{an}，其前23项和等于其前10项和，a8＋ak＝0，则正整数k＝()A．24B．25C．26D．27【答案】C【解析】由题意设等差数列{an}的公差为d，d≠0， 其前23项和等于其前10项和，∴23a1＋d＝10a1＋d，变形可得13(a1＋16d)＝0.∴a17＝a1＋16d＝0.由等差数列的性质可得a8＋a26＝2a17＝0，∴k＝26.故选C．6．已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则a7a9a11＝()A．16B．16C．32D．32【答案】B【解析】 各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，∴a4a14＝(2)2＝8.∴a7a111＝a＝8.∴a7a9a11＝16.故选B．7．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1且＝(n≥2)，则这个数列的第10项等于()A．B．C．D．【答案】D【解析】 ＝，∴1－＝－1，＋＝2，∴＋＝，故是等差数列．又d＝－＝，∴＝＋9×＝5，故a10＝.8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9的值等于()A．54B．45C．36D．27【答案】A【解析】 2a8＝a5＋a11,2a8＝6＋a11，∴a5＝6.∴S9＝9a5＝54.9．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2＞的最大正整数n的值为()A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】 a2a4＝4，an＞0，∴a3＝2.∴a1＋a2＝12.∴消去a1，得＝6. q＞0，∴q＝.∴a1＝8，∴an＝8×n－1＝24－n.∴不等式anan＋1an＋2＞化为29－3n＞，当n＝4时，29－3×4＝＞，当n＝5时，29－3×5＝＜.故选B．10．(2019年内蒙古包头模拟)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足n(n＋1)S＋(n2＋n－1)Sn－1＝0(n∈N*)，则S1＋S2＋…＋S2019＝()A．B．C．D．【答案】D【解析】 n(n＋1)S＋(n2＋n－1)Sn－1＝0(n∈N*)，∴(Sn＋1)[n(n＋1)Sn－1]＝0.又Sn＞0，∴n(n＋1)Sn－1＝0，∴Sn＝＝－.∴S1＋S2＋…＋S2019＝＋＋…＋＝.11．已知数列3,7,11，…，139与2,9,16，…，142，则它们所有公共项的个数为()A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由题意可知数列3,7,11，…，139的通项公式为an＝4n－1,139是数列第35项．数列2,9,16，…，142的通项公式为bm＝7m－5,142是数列第21项．设数列3,7,11，…，139的第n项与数列2,9,16，…，142的第m项相同，则4n－1＝7m－5，n＝＝－1，∴m为4的倍数且m不大于21，n不大于35.由此可知，m只能为4,8,12,16,20.此时n的对应值为6,13,20,27,34.∴公共项的个数为5.故选B．12．(2019年福建厦门模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0，{an}的部分项ak1，ak2，…，akn构成等比数列，若k1＝1，k2＝5，k3＝17，则kn＝()A．2×3n－1－1B．2×3n－1＋1C．2×3n－1D．2×3n＋1【答案】A【解析】设等比数列ak1，ak2，…，akn的公比为q.因为k1＝1，k2＝5，k3＝17，所以a1·a17＝a，即a1(a1＋16d)＝(a1＋4d)2，化简得a1d＝2d2.又d≠0，得a1＝2d，所以q＝＝＝＝3.一方面，2a...
