3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式1.函数y=1-2cos2x的最小正周期是(C)(A)(B)(C)π(D)2π解析:y=1-2cos2x=-cos2x,其最小正周期是T==π.故选C.2.已知sinα-cosα=,α∈(0,π),则sin2α等于(A)(A)-1(B)-(C)(D)1解析:因为sinα-cosα=,所以(sinα-cosα)2=2,所以sin2α=-1,故选A.3.若α∈(0,),且sin2α+cos2α=,则tanα等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:由cos2α=1-2sin2α,得到sin2α+cos2α=1-sin2α=,则sin2α=,又α∈(0,),所以sinα=,则α=,所以tanα=tan=.故选D.4.已知tanθ=,则cos2θ+sin2θ的值为(B)(A)-(B)(C)-(D)1解析:cos2θ+sin2θ====.故选B.5.已知α∈(0,π),且sinα+cosα=,则cos2α的值为(C)(A)±(B)(C)-(D)-解析:因为sinα+cosα=,α∈(0,π),所以1+2sinαcosα=,所以sin2α=-,且sinα>0,cosα<0,所以cosα-sinα=-=-,所以cos2α=(cosα-sinα)(cosα+sinα)=-.故选C.6.函数f(x)=sin2x+cos2x在区间[0,π]上的零点之和是(C)(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+),x∈[0,π],令f(x)=0,得2x+=π或2x+=2π,即x=或x=,所以零点之和是+=.2故选C.7.若△ABC的内角A满足sin2A=,则sinA+cosA等于(C)(A)(B)-(C)(D)-解析:因为sin2A=2sinAcosA=,所以sinAcosA=,因为A为△ABC的内角,所以sinA>0,cosA>0,所以sinA+cosA====.故选C.8.已知2sin2α=1+cos2α,则tan2α等于(D)(A)-(B)(C)-或0(D)或0解析:由2sin2α=1+cos2α及sin22α+cos22α=1,得sin22α+(2sin2α-1)2=1,解得sin2α=0或sin2α=,当sin2α=0时,代入2sin2α=1+cos2α,得cos2α=-1,即tan2α=0,当sin2α=时,代入2sin2α=1+cos2α,得cos2α=,即tan2α==.故选D.9.已知角α的终边过点P(3,4),则cos2α=.解析:因为角α的终边过点P(3,4),所以cosα=,sinα=.所以cos2α=cos2α-sin2α=-=-.3答案:-10.设向量a=(3cosx,1),b=(5sinx+1,cosx),且a∥b,则cos2x=.解析:因为向量a=(3cosx,1),b=(5sinx+1,cosx),且a∥b,所以3cos2x-5sinx-1=0,即3sin2x+5sinx-2=0,解得sinx=-2(舍去),或sinx=,则cos2x=1-2sin2x=1-2×=.答案:11.已知sin+cos=,那么sinθ=,cos2θ=.解析:因为sin+cos=,所以(sin+cos)2=,即1+2sincos=,所以sinθ=,所以cos2θ=1-2sin2θ=1-2×()2=.答案:12.若=2016,则+tan2α=.解析:+tan2α=+=====2016.答案:201613.已知<α<π,cosα=-.(1)求tanα的值;4(2)求sin2α+cos2α的值.解:(1)因为cosα=-,<α<π,所以sinα=,所以tanα==-.(2)sin2α=2sinαcosα=-.cos2α=2cos2α-1=,所以sin2α+cos2α=-+=-.14.已知cos(x-)=,x∈(,).(1)求sinx的值;(2)求sin(2x+)的值.解:(1)因为x∈(,),所以x-∈(,),Sin(x-)==,则sinx=sin[(x-)+]=sin(x-)cos+cos(x-)sin=×+×=.(2)因为x∈(,),故cosx=-=-=-,sin2x=2sinxcosx=-,cos2x=2cos2x-1=-,5所以sin(2x+)=sin2xcos+cos2xsin=-.15.已知函数f(x)=sin2x-2cos2x+,求函数f(x)的最小正周期及其单调区间.解:f(x)=sin2x-2cos2x+=sin2x-cos2x=2sin(2x-),所以函数f(x)的最小正周期是=π,当-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,即-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z时,f(x)=2sin(2x-)单调递增;当+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z时,f(x)=2sin(2x-)单调递减;所以函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z);单调递减区间为[+kπ,+kπ](k∈Z).16.若=,则cos(-2α)的值为(A)(A)(B)-(C)-(D)解析:因为=,所以=,6所以cosα-sinα=,平方得1-2cosαsinα=,所以sin2α=,所以cos(-2α)=sin2α=.故选A.17.已知tan2α=-2,且满足<α<,则的值为(C)(A)(B)-(C)-3+2(D)3-2解析:2cos2-1=cosα,sin(+α)=sinα+cosα,因此==,由tan2α==-2得tanα=或tanα=-(舍去).所以==-3+2.故选C.18.若0<θ<,则化简-的结果是.解析:原式=-7=-=|sin+cos|-|sin-cos|.因为θ∈(0,),所以∈(0,).所以cos>sin>0,所以原式=sin+cos-cos+sin=2sin.答案:2sin19.若A,B均为锐角,且tanA=,sinB=,则A+2B的值为.解析:因为sinB=且B为锐角,所以cosB=,所以tanB=,所以tan2B==,因为tanA=,所以tan(A+2B)===1.8又因为sinB=<=sin30°,且A,B为锐角,所以0°
