学业分层测评(十八)极大值与极小值(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.函数y＝2－x2－x3的极大值为________；极小值为________.【解析】 y′＝－2x－3x2＝－x(3x＋2)，由y′＝0得x＝0或x＝－.函数在，(0，＋∞)上都递减，在上递增，所以函数的极大值为f(0)＝2，极小值为f＝.【答案】22.(2016·浏阳高二检测)函数f(x)＝＋lnx(x＞0)的极小值为________.【解析】 f(x)＝＋lnx(x＞0)，∴f′(x)＝－＋.由f′(x)＝0解得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数.∴x＝2为f(x)的极小值点，所以函数f(x)＝＋lnx的极小值为f(2)＝1＋ln2.【答案】1＋ln23.(2016·宿迁高二检测)若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.【导学号：24830086】【解析】f′(x)＝(x≠－1)，又y＝f(x)在x＝1处取得极值，则f′(1)＝0，解得a＝3.【答案】34.(2016·浙江瑞安月考)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图336所示，则x＋x等于________.图336【解析】由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2.x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.【答案】5.函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)的极大值为______.【解析】y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令y′＝0，得x＝－1或x＝3.当－2＜x＜－1时，y′＞0；当－1＜x＜2时，y′＜0.所以当x＝－1时，函数有极大值，且极大值为5，无极小值.【答案】56.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数图象如图337所示，则函数f(x)的极小值是________.图337【解析】由函数导函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上递减，在(0,2)上递增，所以函数f(x)在x＝0时取得极小值c.1【答案】c7.若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________.【解析】令f(x)＝0得a＝3x－x3，于是y＝a和y＝3x－x3有3个不同交点，画出y＝3x－x3的图象即可解决.结合下图，可知－2＜a＜2.【答案】－2＜a＜28.(2016·南通高二检测)如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图338所示，给出下列判断：图338①函数y＝f(x)在区间内单调递增；②函数y＝f(x)在区间内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值.则上述判断中正确的是________(填序号).【解析】从图象知，当x∈(－3，－2)时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，所以函数y＝f(x)在内不单调，同理，函数y＝f(x)在内也不单调，故①②均不正确；当x∈(4,5)时，f′(x)＞0，所以函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增，故③正确；由于f′(2)＝0，且在x＝2的左、右两侧的附近分别有f′(x)＞0与f′(x)＜0，所以当x＝2时函数y＝f(x)取得极大值，而在x＝－的左、右两侧的附近均有f′(x)＞0，所以x＝－不是函数y＝f(x)的极值点，即④⑤均不正确.故填③.【答案】③二、解答题9.求函数f(x)＝－2的极值.【解】函数的定义域为R.f′(x)＝＝－，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值由表可知，当x＝－1时，函数取得极小值f(－1)＝－3.当x＝1时，函数取得极大值f(1)＝－1.10.已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时函数有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数y的极小值.2【导学号：24830087】【解】(1)y′＝3ax2＋2bx，当x＝1时，y′＝3a＋2b＝0，又因为y＝a＋b＝3，即解得(2)y＝－6x3＋9x2，y′＝－18x2＋18x，令y′＝0，得x＝0或x＝1.∴当x＝0时，函数y取得极小值0.能力提升]1.若函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________.【解析】f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0. 函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)2.已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(...
