第15课时等比数列的前n项和知识点一等比数列前n项和的直接应用1．已知公比为q(q≠1)的等比数列{an}的前n项和为Sn，则数列的前n项和为()A．B．C．D．答案D解析数列仍为等比数列，且公比为，所以数列的前n项和Sn′＝＝＝＝．2．等比数列{an}的公比q＜0，已知a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，则{an}的前2020项和等于()A．2020B．－1C．1D．0答案D解析由an＋2＝an＋1＋2an，得qn＋1＝qn＋2qn－1，即q2－q－2＝0．又q＜0，解得q＝－1．又a2＝1，∴a1＝－1．∴S2020＝＝0．3．已知单调递增的等比数列{an}中，a2·a6＝16，a3＋a5＝10，则数列{an}的前n项和Sn＝()A．2n－2－B．2n－1－C．2n－1D．2n＋1－2答案B解析 a2·a6＝16，a3＋a5＝10，∴由等比数列的性质可得a3·a5＝16，a3＋a5＝10，∴a3，a5为方程x2－10x＋16＝0的实根，解方程可得a3＝2，a5＝8，或a3＝8，a5＝2， 等比数列{an}单调递增，∴a3＝2，a5＝8，∴q＝2，a1＝，∴Sn＝＝2n－1－．故选B．4．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________．答案2解析设{an}的公比为q，由已知可得q≠1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，S2n＝，S奇＝．由题意得＝，∴1＋q＝3，∴q＝2．知识点二“知三求二”问题5．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为()A．4B．5C．6D．7答案C解析由an＝a1qn－1，得96＝3qn－1．故q≠1，且qn－1＝32．故Sn＝＝＝＝189．解得q＝2．∴2n－1＝32．∴n＝6．故选C．16．数列{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，数列{bn}满足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n＝1，2，…)，数列{cn}满足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1，2，…)．若{cn}为等比数列，则a＋q＝()A．B．3C．D．6答案B解析数列{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，an＝aqn－1，则bn＝1＋a1＋a2＋…＋an＝1＋＝1＋－，则cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn＝2＋n－×＝2－＋n＋，要使{cn}为等比数列，则解得或(舍)，∴a＋q＝3．故选B．7．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝________．答案5解析由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，得⇒2n＝32⇒n＝5．知识点三公式的综合应用8．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于()A．7B．8C．15D．16答案C解析设{an}的公比为q． 4a1，2a2，a3成等差数列，∴4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，∴q＝2．又a1＝1，∴S4＝＝15．故选C．9．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{2an}的前n项和Sn．解(1)由题设，知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，解得d＝1或d＝0(舍去)．故{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×1＝n．(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2．易错点忽视特殊情形致误10．设数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和．求证：＜lgSn＋1．易错分析本题求解时容易出现“没有分q＝1和q≠1两种情况证明”的情况，求和公式Sn＝只适合q≠1这种情况．证明设{an}的公比为q．当q＝1时，Sn＝na1，Sn＋1＝(n＋1)a1，Sn＋2＝(n＋2)a1，故SnSn＋2－S＝－a＜0，即SnSn＋2＜S．两边同时取对数并整理，得＜lgSn＋1．2当q≠1时，由题意知q>0，故Sn＝，从而SnSn＋2－S＝－＝－aqn<0．即SnSn＋20，∴q＝2．∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22×21＝84．故选C．2．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为()A．或5B．或5C．D．答案C解析若公比q＝1，则9S3＝9·3a1＝27≠S6＝6，得q≠1．由题意可知＝，解得q＝2．数列是以1为首项，以为公比的等比数列．由求和公式可得数列的前5项和S5＝．故选C．3．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三...
