1.2充分条件与必要条件第1课时充分条件与必要条件农垦牡丹江管理局高级中学李伟问题引航1.充分条件、必要条件的定义是什么?2.如何判断p是q的充分条件,q是p的必要条件?充分条件、必要条件(1)前提:“若p,则q”形式的命题为_______.(2)条件:p⇒q.(3)结论:p是q的_____条件,q是p的_____条件.真命题充分必要1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件.()(2)若p是q的充分条件,则﹁p是﹁q的充分条件.()(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.()【解析】(1)正确.若p是q的必要条件,即pq,⇐所以q是p的充分条件.(2)错误.若p是q的充分条件,即pq,⇒其逆否命题为﹁p⇐﹁q,所以﹁p是﹁q的必要条件.(3)错误.“对顶角相等”的逆否命题为“不相等的两个角不是对顶角”,所以“两角不相等”是“两角不是对顶角”的充分条件.答案:(1)√(2)×(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的条件.(2)“a>0,b>0”是“ab>0”的条件.(3)“若p,则q”的逆命题为真,则p是q的条件.【解析】(1)由题意知pq,qr,⇒⇒故pr,⇒所以p是r的充分条件.答案:充分(2)当a>0,b>0时,显然ab>0成立,故“a>0,b>0”是“ab>0”的充分条件答案:充分(3)因为“若p,则q”的逆命题为真,即“若q,则p”为真,所以qp,⇒即p是q的必要条件.答案:必要知识点充分条件与必要条件1.对充分条件的理解充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论;或要使此结论成立,只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立.例如,x=6⇒x2=36,但是,当x≠6时,x2=36也可以成立,所以“x=6”是“x2=36成立”的充分条件.2.对必要条件的两点说明(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的.真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.(2)“p是q的必要条件”的理解:推出关系为q⇒p,若有q,则必须有p;而具备了p,则不一定有q.【微思考】(1)若p是q的充分条件,p是惟一的吗?提示:不一定惟一,凡是能使q成立的条件都是它的充分条件,如x>3是x>0的充分条件,x>5,x>10等都是x>0的充分条件.(2)“若﹁p,则﹁q”为真命题,则p是q的什么条件?提示:“若﹁p,则﹁q”为真命题,则其逆否命题“若q,则p”也为真命题,即qp,⇒故p是q的必要条件.【即时练】1.已知A⊆B,则“x∈A”是“x∈B”的条件,“x∈B”是“x∈A”的条件.2.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:(1)s是q的什么条件?(2)p是q的什么条件?【解析】1.因为AB,⊆由子集的定义知x∈Ax∈B,⇒故“x∈A”是“x∈B”的充分条件;“x∈B”是“x∈A”的必要条件.答案:充分必要2.(1)因为qs,srq,⇒⇒⇒所以s是q的充分也是必要条件.(2)因为qsrp,⇒⇒⇒所以p是q的必要条件.【题型示范】类型一充分条件与必要条件的判断【典例1】(1)(2014·广州高二检测)已知:p:x>1;q:x>2;则p是q的()A.充分条件B.必要条件C.既不充分也不必要条件D.以上答案均不正确(2)下列各题中,p是q的什么条件?①p:α=;q:cosα=;②p:(x+1)(x-2)=0;q:x+1=0.312【解题探究】1.题(1)中“若x>1,则x>2”,此命题正确吗?逆命题呢?2.题(2)①命题“若α=,则cosα=”是真命题吗?逆命题呢?②若实数x满足方程(x+1)(x-2)=0,是否还一定满足方程x+1=0?312【探究提示】1.命题“若x>1,则x>2”不正确,如x=1.5满足x>1,但x>2不成立;逆命题是正确的.2.①命题“若α=,则cosα=”是真命题,但逆命题为假命题.②若x满足方程(x+1)(x-2)=0,则x不一定满足方程x+1=0;如x=2满足方程(x+1)(x-2)=0,但不满足x+1=0.312【自主解答】(1)选B.因为x>1x>2,但x>2x>1,⇒所以pq,但qp,⇒所以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.(2)①因为α=cosα=,⇒但cosα=α=,所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.②因为(x+1)(x-2)=0x+1=0,但x+1=0(x+1)(x-2)=0,⇒所以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.312123【方法技巧】充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法:①确定谁是条件,谁是结论.②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件.③...
