湖南省益阳市第一中学2014届高三第十次月考数学试题（理科）时间：120分钟，总分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．若复数是纯虚数，是虚数单位，则的值是()A．B．C．D．2.已知随机变量，且，则等于()A．B．C．D．3．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．设实数满足约束条件且的最小值为，则实数的值为（）A．B．C．D．5．已知为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中含项的系数是（）A．B．C．D．6．正方体中，为侧面的中心，则与平面所成的角的正弦值为（）A．B．C．D．7．已知函数且恒过点，则的解的个数为（）A．B．C．D．8．在中，，则角的最大值为（）A．B．C．D．益阳市第一中学高三理科数学试题第1页（共4页）19．已知双曲线的两个焦点为，其中一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且满足(其中为坐标原点)，若、、成等比数列，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．10．给出下列命题：①“，使得”的否定是“，使得”；②是向量的夹角为锐角的充要条件；③设的内角的对边分别为，且满足，则；④记集合，定义映射，则从中任取一个映射满足“由点构成且”的概率为．以上命题正确的个数为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．在极坐标系中，已知直线的极坐标方程为，圆的圆心为，半径为，则直线被圆所截得的弦长为__________．12．已知，则实数的取值范围是________．13．如图，在中，，过作的外接圆的切线，于，与外接圆交于点，已知，则的外接圆的半径为________.益阳市第一中学高三理科数学试题第2页（共4页）2（二）必做题（12～16题）14．已知向量且，则_______．15．已知函数在区间的端点上恰取相邻一个最大值点和一个最小值点，则（1）的值为______；（2）在和轴围成的矩形区域里掷一小球，小球恰好落在函数与轴围成的区域内的概率为__________．16．科拉茨是德国数学家，他在1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘加（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到．如初始正整数为，按照上述变换规则，我们可以得到一个数列：，，，，，，，，．（1）如果，则按照上述规则施行变换后的第项为_________；（2）如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后的第项为（注：可以多次出现），则的所有不同值的个数为________．三、解答题（本大题共6小题，共75分，请将解答过程写在答题卡的相应位置，要有必要的文字说明和演算步骤）17．(本小题满分12分)已知等比数列的各项均为正数，，，（1）求的值及数列的通项公式；（2）是否存在等差数列，使得对任意都成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．18.(本小题满分12分）甲、乙、丙、丁、戊名学生进行数学知识比赛，决出第一名至第五名的名次．比赛之后甲乙两位同学去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得冠军”，对乙说“你当然不会是最差的”．（1）从上述回答分析，人的名次排列可能有多少种不同的情况？（2）比赛组委会规定，第一名获奖金元，第二名获奖金元，第三名获奖金元，第四名及第五名没有奖金，求丙获奖金数的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分)如图①，直角梯形中，，，分别为边和上的点，且，．将四边形沿折起成如图②的位置，使．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．益阳市第一中学高三理科数学试题第3页（共4页）320.(本小题满分13分）外国油轮（简称外轮）除特许外，不得进入离我国海岸线海里以内的区域.如图所示，我国某海岛是由半径为海里的一段圆弧(圆周)和线段所围的区域（、、分别位于圆心的正西、正东和正北位置）.在、设有两个观察点，现发现在点处停有一外轮，并测得，.(1)该外轮是否已进入我国领海主权范围内？（2）该外轮因故障向我方求助，我方停泊在处的求助船紧...
