第八章第9讲第1课时VIP专享VIP免费

第9讲圆锥曲线的综合问题第八章平面解析几何1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.方程ax2＋bx＋c＝0的解l与C1的交点a＝0b＝0无解(含l是双曲线的渐近线)__________b≠0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)_____________无公共点一个交点方程ax2＋bx＋c＝0的解l与C1的交点a≠0Δ＞0两个__________的解__________Δ＝0两个相等的解__________Δ＜0无实数解__________不相等两个交点一个交点无交点(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.[做一做]1．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于()A.12.13C.14D．4C解析：由x－y－1＝0，y＝ax2，消去y得ax2－x＋1＝0，所以a≠0，1－4a＝0，解得a＝14.2．双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是()A．k＞－baB．k＜baC．k＞ba或k＜－baD．－ba＜k＜baD解析：由双曲线渐近线的几何意义知－ba＜k＜ba.1．辨明两个易误点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．2．“点差法”求解弦中点问题的步骤设点—设出弦的两端点坐标↓代入—代入圆锥曲线方程↓作差—两式相减，再用平方差公式把上式展开↓整理—转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解[做一做]3．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．C4．椭圆x22＋y2＝1的弦被点(12，12)平分，则这条弦所在的直线方程是_________________________．2x＋4y－3＝0解析：设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1. A，B在椭圆上，∴x212＋y21＝1，x222＋y22＝1.（x1＋x2）（x1－x2）2＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即y1－y2x1－x2＝－x1＋x22（y1＋y2）＝－12，即直线AB的斜率为－12.∴直线AB的方程为y－12＝－12(x－12)，即2x＋4y－3＝0.第1课时直线与圆锥曲线的位置关系考点一直线与圆锥曲线的位置关系考点二弦长问题考点三中点弦问题考点一直线与圆锥曲线的位置关系在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．[解](1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，所以c＝1.将点P(0，1)代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1，得1b2＝1，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C1的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由x22＋y2＝1，y＝kx＋m，消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l与椭圆C1相切，所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.整理得2k2－m2＋1＝0.①由y2＝4x，y＝kx＋m，消去y并整理得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.因为直线l与抛物线C2相切，所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.②综合①②，解得k＝22m＝2或k＝－22，m＝－2.所以直线l的方程为y＝22x＋2或y＝－22x－2.[规律方法]直线与圆锥曲线位置关系的判断方法：用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题．1....